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平行四边形单元考点练习
刷中考
考点1 平行四边形的性质与判定
[2024 贵州中考]如图, ABCD 的对角线AC与 BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是( )
A. AB=BC
B. AD=BC
C. OA=OB
D. AC⊥BD
2[2024 辽宁中考]如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
3[2024河北中考]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M 是AC 的中点,连接BM 并延长交AE于点 D,连接CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠3.
∵ ∠CAN=∠ABC+
∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴ ① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB( ② ).
∴MD=MB.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为 ( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1≈∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
4[2024四川眉山中考]如图,在 ABCD中,点O是BD 的中点,EF 过点 O,下列结论:①AB∥DC;②EO = ED;③∠A =∠C;④S四边形ABOE =S四边形CDOF，其中正确结论的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[2024广州中考]如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
6[2024四川广安中考]如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点 M 为直线 BC上一动点,则MA+MD 的最小值为 .
7[2024 湖北中考]如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF.求证:BE=DF.
8[2024 湖南中考]如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,点 E 在边 AB 上, . 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 BCDE 为平行四边形；
(2)若 AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
考点2 三角形中位线定理
[2024四川广安中考]如图,在△ABC中,点 D,E分别是AC,BC的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C 的度数为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
10[2024 江苏无锡中考]在△ABC 中,AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则△DEF 的周长为 .
11[2024 四川凉山州中考]如图,四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC=24,BD = 18,则四边形 EFGH 的周长是
考点3多边形的内角和与外角和
12[2024四川乐山中考]下列多边形中，内角和最小的是 ( )
13[2024云南中考]一个七边形的内角和等于( )
A.540° B.900° C.980° D.1 080°
14[2024四川遂宁中考]佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为 ( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
15[2024内蒙古赤峰中考]如图，是正 n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
16[2024 山东威海中考]如图，在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点l.若∠EFG=20°,则∠ABI= .
刷章测
一、选择题(共35分)
如图,在平行四边形ABCD 中,AB=3,AD=2,则CD= ( )
A.3 B.2 C.1 D.5
2如图,在 ABCD中,CE⊥AB 于点E,CF⊥AD于点F,若∠ECF=53°,则∠B= ( )
A.53° B.45° C.37° D.70°
3 如图,七边形 ABCDEFG中，EF，BA 的延长线相交于点 P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF 的外角的度数和为230°,则∠P 的度数为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
4[2023 辽宁铁岭模拟]将一个三角板按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG= 90°,∠EGF = 30°,∠BEF = 50°,则∠EGD 的度数为 ( )
A.80° B.90° C.110° D.140°
5[2023 内蒙古鄂尔多斯期末]如图，在平行四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4,DE=3,AB=5，则AC的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.5
6[2024 重庆南岸区调研]如图，在平行四边形ABCD中,对角线相交于点 O,AC=AB,E是AB 边的中点,G,F 为 BC 边上的点,连接OG 和EF.若AB=13,BC=10,GF=5,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.48 B.36
C.30 D.24
7[2024江苏宿迁调研]如图，BD 为平行四边形ABCD的对角线,∠DBC=45°,DE⊥BC于点 E,BF⊥CD 于点 F,DE,BF 相交于点 H,延长BF交AD的延长线于点 G，下列结论： ②∠A=∠BHE;③AB=BH;④∠BHD=∠BDG; 中，正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(共20分)
8如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),点D 为平面内的点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标是 .
9如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .
10[2024 河南洛阳期末]如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC=21cm,BE⊥AC,垂足为点E,且BE=5cm,AD=7cm,则AD与BC之间的距离为 .
[2023 四川成都调研]如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点O 在坐标原点处，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为(-4,6),(0,4),线段EF 在边OA上移动，保持EF=3，当四边形 BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为 .
三、解答题(共45分)
12如图,在 ABCD中,点E是BC的中点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点 F.
(1)求证:AB=FC;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
13在四边形ABCD中,连接AC和BD交于点O,AO=CO,BO=DO,点E是OB 的中点,点F是OD 的中点,连接AE 和CF.
(1)如图(1),求证:AE=CF;
(2)如图(2),延长AE交 BC 于点 Q,延长CF交AD于点 P,连接CE 并延长交AB 于点 M,连接AF并延长交 CD 于点 N，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的平行四边形.
14[2023辽宁辽阳期末]如图，在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点 B，将线段AB 绕点 A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点 B，C作直线，交x轴于点 D.
(1)求点 C 的坐标及直线BC 的表达式；
(2)若点E为线段 BC 上一点,且△ABE 的面积为 ，求点 E 的坐标；
(3)在(2)的条件下，在平面内是否存在点 P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
刷中考
1. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AO=OC,BO=OD,故选B.
2. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形, CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,∴四边形 OCED 的周长为 2(OC+OD)= 2× 故选C.
3. D 【解析】∵ AB =AC,∴ ∠ABC = ∠3.∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN = ∠1+∠2,∠1=∠2,∴①∠2=∠3.又∵∠4=∠5,MA=MC,∴ △MAD≌△MCB(②ASA).∴ MD=MB.∴四边形ABCD 是平行四边形.故选 D.
4. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确;∵点O是BD的中点,∴OD=OB.∵AD∥BC,∴ ∠ODE = ∠OBF. 又∵∠DOE = ∠BOF,∴△ODE≌△OBF(ASA),∴EO=FO,EO 不一定等于ED，故②不正确. 平行四边形ABCD,S△ODE=S△OBF,∴S△ABD-S△ODE= 即 故④正确.综上所述，正确结论的个数为3个.故选C.
5.5 【解析】在 ABCD中,BC=2,∴AD=BC=2,BC∥AD,∴∠CBA= ∠BAE.∵ BA 平分∠EBC,∴∠CBA=∠EBA,∴∠BAE=∠EBA,∴BE=AE=3,∴DE=AD+AE=2+3=5,故答案为5.
【解析】如图，作A关于直线BC 的对称点 ，与直线BC交于点H，连接A'D 交直线BC于M',连接AM',则AH=A'H,AH⊥BC,AM'=A'M',∴当M,M'重合时,MA+MD的值最小,最小值为A'D的长.∵AB=4,∠ABC=30°,四边形ABCD 是平行四边形,∴ AH= 故答案为
7.【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC,
∴∠BAE=∠DCF.
在△AEB 和△CFD中.
∴△AEB≌△CFD(SAS),∴BE=DF.
8.【解】(1)选择①.
证明:∵∠B=∠AED,∴DE∥CB.
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②.
证明:∵AE=BE,AE=CD,∴CD=BE.
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)得DE=BC=10.
∵AD⊥AB,AD=8,
∴在Rt△ADE中,
9. D 【解析】∵点D,E分别是AC,BC的中点,∴DE 是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠B=∠CED=70°,∴ ∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-70°=65°.故选 D.
10.9 【解析】如图,∵AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， 的周长为DE+EF+DF=4+2+3=9.故答案为9.
11.42 【解析】∵ 四边形ABCD 各边中点分别是E,F,G,H,∴EF,FG,GH,HE 分别为△ABC,△BCD,△ADC,△ABD 的中位线, 四边∵形EFGH的周长为 故答案为42.
12. A 【解析】三角形的内角和为 四边形的内角和为( 五边形的内角和为 ，六边形的内角和为( 720，∴在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，故选A.
13. B 【解析】一个七边形的内角和为( 故选B.
14. C 【解析】设这个正多边形的边数为 n.由题意得( 解得 ∴这个正多边形的每个外角为 故选C.
15. B 【解析】如图，设l，m所在直线相交于点A,则 ·正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等， 故选 B.
【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，
故答案为
刷章测1. A 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD=AB=3.故选A.
2. A 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC.∵CF⊥AD,∴CF⊥BC,∴∠BCF=90°.∵∠ECF=53°,∴ ∠BCE=90°-53°=37°.∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∴ ∠B=90°-∠BCE=90°-37°=53°,故选 A.
3. C 【解析】如图.由题意得∠1+∠2+∠3+∠4 = 230°,∴ ∠5+∠6 + ∠7 = 360°-230°= 130°.∵ ∠8=∠6+∠7,∴∠5+∠8=130°,∴ ∠P=180°-(∠5+∠8)=180°-130°=50°.故选C.
4. C 【解析】∵ ∠EFG=90°,∠EGF=30°,
∴∠FEG=90°-30°=60°,∴∠BEG=∠FEG+∠BEF=110°.∵纸片ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EGD=∠BEG=110°.故选 C.
5. A 【解析】如图,连接EC.在平行四边形ABCD 中,OA = OC,OE⊥AC,∴EO垂直平分AC.∵AE=4,AB=5,∴EC=AE=4,CD= 是直角三角形，∴ ∠DEC = 90°,∴ ∠CEA = 90°,∴ AC = 故选 A.
6. C 【解析】如图,连接EO,EG,OF,设EF与OG交于P.在平行四边形ABCD 中，对角线相交于点O，∴O是AC的中点.又∵E是AB边的中点,∴EO是△ABC的中位线,∴EO∥BC,EO= 又∵GF=5,∴EO=GF,∴四边形EOFG 是平行四边形， 又∵ ∵AC=AB=13,BC=10,∴等腰△ABC 中BC边上的高为 12= 60. ∵ O 是 AC 的中点, ∴阴影部分的面积为30.故选 C.
7. C 【解析】∵ ∠DBC = 45°, DE ⊥BC,∴△DEB 是等腰直角三角形,∴ BE=DE. ∠C+∠FDH =90°,∴ ∠C=∠FHD =∠BHE.∵∠C=∠A,∴ ∠A =∠BHE,故②正确.在△BEH 和△DEC 中,
∴△BEH≌△DEC(AAS),∴EH=EC.∵H不一定是 DE 的中点， 不一定成立，故①错误.∵四边形ABCD 为平行四边形,△BEH≌△DEC,∴AB=CD,BH=CD,∴ AB = BH,故③正确. ∵ ∠BHD =90°+∠HBE,易得∠BDG=90°+∠BDE,∠BDE>∠HBE,∴∠BDG>∠BHD,故④错误.∵ BF⊥CD,AB∥CD,∴ BF⊥AB,∴ ∠ABG=90°, 故⑤正确.综上，正确的结论有②③⑤，共3个.故选C.
8.(7,3)或(-3,3)或(3,-3) 【解析】分三种情况，如图所示.
①BC为对角线时，点D的坐标是(7,3);
②AC为对角线时，点 的坐标是(-3,3);
③AB 为对角线时，点
的坐标是(3,-3).
故答案为(7,3)或(-3,3)或(3,-3).
9.360° 【解析】如图.∵ ∠AGM=∠1+∠2,∠CHG = ∠3+∠4,∠EMH = ∠5+∠6,∴ ∠AGM +∠CHG+∠EMH=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.∵ ∠AGM, ∠CHG,∠EMH是△GMH 的外角,∴∠AGM+∠CHG+∠EMH=360°,∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.故答案为360°.
10.15cm 【解析】设AD 和BC 之间的距离为xcm，则平行四边形ABCD的面积等于AD· BE,∴AD·x=AC·BE,即7x=21×5,∴x=15.故答案为15cm.
【解析】如图，在BC上截取BH=EF=3,作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H 交 AO 于点 E,此时四边形 BDEF 的周长最小.∵点D 与点 D'关于x轴对称,D(0,4),∴D'(0,-4).∵B(-4,6),BH=3,∴H(-1,6).设直线D'H 的表达式为 y= kx+b,则 解得 直线D'H的表达式为y=-10x-4.令y=0,则 ∴点 故答案为
12.【证明】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠ABE=∠FCE.
∵E为BC中点,∴BE=CE.
在△ABE与△FCE中.
∴△ABE≌△FCE(ASA),
∴AB=FC.
(2)∵AD=2AB,AB=FC=CD,∴DF=2CD=2AB,∴AD=DF.
∵△ABE≌△FCE,∴AE=EF,
∴DE⊥AF.
13.(1)【证明】∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
在△ABE 和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.
(2)【解】由 (1) 知 △ABE ≌ △CDF,∴∠AEB = ∠CFD,AE = CF,∴ ∠AEO =∠CFO,∴AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.易由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证得四边形AQCP 是平行四边形，四边形AMCN 是平行四边形.故平行四边形有四边形ABCD，四边形AECF，四边形AQCP,四边形AMCN.
14.【解】(1)直线y=-3x+3中,
当x=0时,y=3,
∴B(0,3),OB=3.当y=0时,-3x+3=0,∴x=1,∴A(1,0),OA=1.如图(1),过点C作CG⊥x轴于G,由旋转得AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAG=90°.
∵∠AOB=∠CGA=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠CAG=∠ABO,
∴△BOA≌△AGC(AAS),
∴AG=OB=3,CG=OA=1,∴C(4,1).
设直线 BC的表达式为y= kx+b,
则 解得 直线BC的表达式为
12.【证明】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
(2)如图(2),过点 E作 轴于F.
∵点E为线段BC上一点，∴设点E的坐标为(m， 四边形 AOBE 的面积为 解得m=2,∴E(2,2).

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