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9．2.2　向量的数乘(1)
一、 单项选择题
1 (a＋2b)＋2(a－b)等于(　　)
A. 2a B. 3a
C. －b D. 0
2 (2024郑州期中)已知点C在线段AB上，且 ＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝－
3 在△ABC中，D为边BC上的一点，且BD＝2DC，则 　等于(　　)
A. ＋ B. －
C. ＋ D. ＋
4 (2024河北期中)若向量a，b，e1，e2在正方形网格中的位置如图所示，则向量a－b等于(　　)
A. 2e1＋4e2 B. e1＋4e2
C. 2e1－3e2 D. 2e1＋3e2
5 (2024抚州期中)如图，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则等于(　　)
A. 3－2 B. 2－3
C. 2－ D. －2
6 在△ABC中，点G，M满足＋＋＝0，＝3，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝＋
B. ＝＋
C. ＝＋
D. ＝－＋
二、 多项选择题
7 (2024台州月考)下列结论中，正确的有(　　)
A. 对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
B. 对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
C. 对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b
D. 对于实数m，n和向量a，若ma＝na，则m＝n
8 (2024丹东期末)在△ABC中，点D在边AB上，且＝2，E是CD的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝－
B. ＝＋
C. ＝＋
D. ＝2－3
三、 填空题
9 (2023天津一中期中)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则＝________．
10 若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
11 (2023上海大同中学期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|(－)＋(－)|，则△ABC的形状为________．
四、 解答题
12 (1) 化简：[(2a－3b)＋b－(3a－5b)]；
(2) 设向量a＝3i＋5j，b＝i－2j，用i，j表示(a－2b)－(a＋b)＋(a＋3b).
13 如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB，试用向量a，b来表示 ，.
9．2.2　向量的数乘(2)
一、 单项选择题
1 (2023台州书生中学期中)平面上四点O，A，B，C满足＝2，则下列关系中正确的是(　　)
A. ＝＋
B. ＝＋
C. ＝－
D. ＝－
2 (2024顺义月考)设O，A，B，C为平面上四个不同的点，它们满足3＋＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. A，B，C三点共线
B. O，B，C三点共线
C. A，O，C三点共线
D. A，B，O三点共线
3 (2024新乡期中)在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足＝3，则　等于(　　)
A. －＋ B. －－
C. － D. －＋
4 (2023山东期末)衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中△ABC为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且BC＝2DE，AB＝AC，∠CDE＝，则　等于(　　)
A. ＋2
B. ＋3
C. ＋2
D. ＋3
5 (2024保山期中)已知平面向量a，b不共线，＝2a＋λb，＝(λ－1)a＋2b，若A，B，C三点共线，则实数λ等于(　　)
A. B.
C. D.
6 (2023镇江期中)在△ABC中，D是AB的中点，点F 在AC上，且 ＋2＝0，记 ＝a，＝b，则 　等于(　　)
A. －a＋b B. a－b
C. a＋b D. －a－b
二、 多项选择题
7 已知△ABC，则下列各式中可以确定点P在线段BC的延长线上的是(　　)
A. ＝x＋(1－x)
B. ＝x＋(1－x)(x<0)
C. ＝2
D. ＝
8 (2024辽宁月考)已知△ABC的重心为点G，O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则下列结论中正确的是(　　)
A. O，P，G三点共线 　B. ＝2
C. 2＝＋＋ 　D. 点P在△ABC的内部
三、 填空题
9 设点P在线段MN上，且＝，则＝________.
10 (2024达州期中)已知e1，e2是两个不共线的单位向量，a＝e1－e2，b＝－2e1＋ke2，若a与b共线，则k＝________．
11 已知四边形ABCD为菱形，＝a，＝b，点P在边AD上，且||＝λ||，λ∈(0，1)，则＝________．(用a，b表示)
四、 解答题
12 (2024河北月考)设e1，e2为不共线的非零向量，判断下列各题中的向量a，b是否共线．
(1) a＝－2e1，b＝2e1；
(2) a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
(3) a＝－2e1＋3e2，b＝2e1.
13 (2024江苏月考)如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近点B 的三等分点，求证：M，N，C三点共线．
9．2.2　向量的数乘(3)
一、 单项选择题
1 (2023福州连江一中期中)如图，在△ABC中，＋4＝0，则　等于(　　)
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. ＋
2 (2024景德镇期中)已知向量a，b不共线，c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，且c与d方向相反，则实数x的值是(　　)
A. － B. 1
C. －1或－ D. 1或－
3 (2024佛山月考)如图，在平行四边形ABCD中，E，F是边CD上的两个三等分点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝ B. ＋＝＋
C. ＝－ D. ＝＋
4 (2024湖北期中)在△ABC中，点D在边BC上，延长AD到点P，使得AP＝10，若＝m＋(m为常数)，则PD的长度是(　　)
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
5 (2024宁波期中)已知点O在△ABC的内部，且满足＝＋，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是(　　)
A. B. 3 C. D. 2
6 (2024广西月考)在△ABC中，＝4，＝2.若＝λ＋μ，则下列结论中正确的是(　　)
A. λ＋μ＝5 B. λ－μ＝1
C. λμ＝6 D. ＝3
二、 多项选择题
7 已知在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论中正确的是(　　)
A. －＝
B. ＋＋＋＝0
C. |＋2|＝0
D. ＝＋
8 瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离的一半，这就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心，则下列结论中错误的是(　　)
A. ＝2
B. ＋＋＝0
C. 设BC的中点为D，则＝3
D. ＝＝
三、 填空题
9 (2024厦门期中)已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(y－2)a＋(x－1)b＝0，则x＋y＝________．
10 已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，且 ＝λ，则实数λ的值为________．
11 在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
四、 解答题
12 如图，在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝λ，＝μ，且λ>0，μ>0，求λ＋μ的最小值．
13 (2023长沙长郡中学期中)
(1) 如图，，不共线，R是直线PQ上的动点，证明：存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1；
(2) 用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
9．2.2　向量的数乘(1)
1. B　(a＋2b)＋2(a－b)＝a＋2b＋2a－2b＝3a.
2. A　因为点C在线段AB上，且 ＝，所以＝＝，＝，＝＝－，故A正确，B，C，D错误．
3. D　因为在△ABC中，D为边BC上的一点，且BD＝2DC，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
4. D　如图，设＝a，＝b，则a－b＝－＝＋＝＝2e1＋3e2.
5. C　＝＋＝＋＝＋－＝2－.
6. A　因为＋＋＝0，所以点G为△ABC的重心，所以＝×(＋)＝(＋).又因为＝3，所以＝＋＝＋＝＋×(＋)＝－＋＝＋(－)＝＋.
7. AB　由数乘向量的运算律可知A，B均正确；对于C，若m＝0，则ma＝mb＝0，未必有a＝b，故C错误；对于D，若a＝0，则ma＝na＝0，未必有m＝n，故D错误．故选AB.
8. BCD　对于A，＝－，故A错误；对于B，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故B正确；对于C，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝－，所以＝＋＝＋(－)＝＋，故C正确；对于D，＝－＝－3＝－3(－)＝2－3，故D正确．故选BCD.
9. 　由－4＋3＝0，得－＝3－3，即＝3，所以点C在线段BA的反向延长线上，且＝.
10. －　因为|a|＝5，|b|＝7，且b与a的方向相反，所以a＝－b.
11. 直角三角形 　取BC的中点D，因为|－|＝|(－)＋(－)|，所以||＝|＋|＝|2|＝2||，即AD＝DB＝DC，所以∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，所以∠BAC＝∠ABC＋∠ACB.又三角形的内角和为180°，所以∠BAC＝90°，所以△ABC为直角三角形．
12. (1) 原式＝
＝
＝a－b.
(2) 原式＝a－2b－a－b＋a＋3b
＝a＋b＝(3i＋5j)＋(i－2j)
＝i＋j＋i－j
＝i＋j.
13. 由AN＝AB，得＝，
所以＝－＝－＝a－b.
由BM＝BC，得＝＝，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
9．2.2　向量的数乘(2)
1. B　因为＝2，所以－＝2(－)，即3＝2＋，所以＝＋.
2. A　因为3＋＝4，所以3－3＝－，即3＝，所以∥.又，有公共点A，所以A，B，C三点共线．
3. A　如图，因为D为BC的中点，所以＝＋.又＝3，所以＝＝＋，所以＝－＝－＝－＋.
4. C　如图，延长CD和BE交于点F.由题意，得∠A＝∠F＝∠FCA＝∠FBA＝90°，所以四边形ABFC为矩形．又AB＝AC，所以四边形ABFC为正方形．又BC＝2DE，所以D，E分别是CF，BF的中点，所以＝＋＝＋2.
5. D　若A，B，C三点共线，则 ∥，故存在唯一的实数x，使得＝x，即解得或
6. A　因为D是AB的中点，所以＝.因为点F在AC上，且 ＋2＝0，所以＋2(－)＝0，即＝，所以＝＋＝＋＝(＋)＋＝(－a－b)＋b＝－a＋b.
7. BC　由题意，得＝x＋(1－x)，即x＋(1－x)＝x＋(1－x)，即x＝(1－x)，当0≤x≤1时，点P在线段BC上；当x<0时，点P在线段BC的延长线上；当x>1时，点P在线段CB的延长线上，故B正确，A错误；当＝2时，点P在线段BC的延长线上，此时C是PB的中点，故C正确；当＝时，点P在线段CB的延长线上，故D错误．故选BC.
8. AC　＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＝3，所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋3，因为＝＋＋，所以(＋＋)＋3＝－＋3＝2，即2＝＋＋，故C正确；因为＝3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．故选AC.
9. －　由题意知，M，N，P的位置如图所示，则＝－.
10. 2　因为a＝e1－e2与b＝－2e1＋ke2共线，所以可设b＝λa，即－2e1＋ke2＝λ(e1－e2).又e1，e2不共线，所以解得k＝2.
11. λ(b－a)　因为＝＝－＝b－a，所以||＝λ|b－a|.又点P在边AD上，所以＝λ(b－a).
12. (1) 因为a＝－2e1，b＝2e1，
所以a＝－b，故a，b共线．
(2) 因为a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)，
所以b＝－2a，故a，b共线．
(3) 假设a，b共线，则由向量共线定理可知，
存在λ∈R，使a＝λb，即－2e1＋3e2＝2λe1，
所以e2＝e1，
故e1，e2共线，
这与已知条件e1，e2不共线矛盾，
所以假设不成立，即a，b不共线．
13. 因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a.
因为N是BD上靠近点B的三等分点，
所以＝＝(b－a).
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以＝＝b，
可得＝－＝(b－a)－b＝－a－b.①
因为M为AB的中点，所以＝a，
可得＝－＝－(＋)＝－＝－a－b.②
由①②可得＝，
则由向量共线定理可知∥.
又因为，有公共点C，
所以M，N，C三点共线．
9．2.2　向量的数乘(3)
1. A　在△ABC中，因为＋4＝0，所以＝4，可得＝，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
2. A　因为c与d方向相反，所以存在k<0，使得d＝kc，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.又向量a，b不共线，则解得(舍去)或故x＝－.
3. B　对于A，因为在平行四边形ABCD中，E，F是边CD上的两个三等分点，所以＝＝，故A错误；对于B，因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋，故B正确；对于C，＝－，故C错误；对于D，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 故D错误．
4. B　设＝λ，则＝.因为＝m＋，所以＝m＋，即＝λm＋λ·.又D，B，C三点共线，所以λm＋λ·＝1，解得λ＝，所以＝.因为AP＝10，所以||＝||＝8，即PD的长度为8.
5. C　由＝＋，得＝(－)＋(－)，即＋2＋2＝0.设AC的中点为D，则＋＝2，即4＝－，所以点O在中线BD上，且OB＝BD.如图，过点O，D作边AB上的高，垂足分别为M，N，则＝＝，所以S△AOB＝S△ABD.又S△ABD＝S△ABC，即S△AOB＝S△ABC，所以＝.
6. C　因为 ＝4，所以 ＝－＝－－3＝－－3(＋).又＝2，所以＝－－3－3＝－－3－＝－3－2，所以λ＝－3，μ＝－2，所以λ＋μ＝－5，λ－μ＝－1，λμ＝6，＝，故A，B，D错误，C正确．
7. ABC　－＝＝，故A正确；＋＋＋＝＋＝0，故B正确；因为AB∥CD，所以△OCD∽△OBA，所以＝＝，即＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|＝0，故C正确；＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D错误．故选ABC.
8. CD　如图，取BC的中点D.对于A，由题意，得＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以△AHG∽△DOG，所以＝＝2，所以＝2，故A正确；对于B，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，故B正确；对于C，因为△AGH∽△DGO，所以＝2，故C错误；对于D，向量，，的模相等，方向不同，故D错误．故选CD.
9. 3　由向量a，b不共线，且(y－2)a＋(x－1)b＝0，得即x＝1，y＝2，所以x＋y＝3.
10. －2　因为＋＋＝－＋－＋－＝0，所以＝＋.因为D为△ABC的边BC的中点，所以＝2，所以D为AP的中点，所以＝－2. 又＝λ，所以λ＝－2.
11. 　设＝y，则＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈.因为＝x＋(1－x)，所以x＝－y，所以x∈.
12. 因为＝＋，＝＋，
又＝2，
所以－＋＝2(－)，
所以＝＋＝＋.
又P，M，N三点共线，所以＋＝1，
所以λ＋μ＝(λ＋μ)·＝＋＋≥1＋2＝1＋，
当且仅当＝，即λ＝，μ＝时，取得等号，
所以λ＋μ的最小值为1＋.
13. (1) 因为R是直线PQ上的动点，
所以不妨设＝t(t为实数)，
则－＝t(－)，
即＝(1－t)＋t，
令λ＝1－t，μ＝t，
则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，
所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
(2) 已知：如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．
求证：AD，BE，CF交于一点．
不妨设BE，CF交于一点G，连接AG.
因为D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
所以＝，＝，＝(＋).
根据(1)的结论可知，
在△ABE中，＝λ＋μ＝λ＋，λ＋μ＝1，λ，μ为实数；
在△ACF中，＝x＋y＝x＋，x＋y＝1，x，y为实数，
所以解得
所以＝(＋)，即＝，
所以，共线，且有公共点A，
所以A，G，D三点共线，
所以AD，BE，CF交于一点，即证．

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