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9．2.3　向量的数量积(1)
一、 单项选择题
1 (2024辽阳月考)在正六边形ABCDEF中，向量与的夹角为(　　)
A. B. C. D.
2 已知向量a，b满足2≤a·b≤4，且|a|＝2，则|b|的取值范围是(　　)
A. (0，1) B. [1，＋∞)
C. [2，＋∞) D. [0，2]
3 设a，b是两个非零向量，则使a·b＝|a|·|b|成立的一个必要且不充分条件是 (　　)
A. a＝b B. a∥b
C. a⊥b D. a＝λb(λ>0)
4 已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，设向量a与a＋b的夹角为θ，则cos θ等于(　　)
A. B. － C. D. －
5 (2023常州期中)已知向量a，b满足 |a|＝2，|b|＝3，a·b＝－3，则向量b在向量a上的投影向量为(　　)
A. －a B. －a
C. －a D. －a
6 (2024吉林期末)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则·的值为(　　)
A. －18 B. －12
C. 12 D. 18
二、 多项选择题
7 已知|a|＝1，|b|＝2，向量b在a上的投影向量为c，则下列结论中正确的是(　　)
A. a·c＝c·b
B. a·b＝a·c
C. |a·c|≤2
D. a·c＝|a|·|c|
8 P，Q为边长为1的正六边形ABCDEF的边界上的两个不同的动点，则· 的值可以为(　　)
A. －5 B. －1
C. D. 4
三、 填空题
9 已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b夹角的大小为________．
10 已知||＝1，||＝4，且·＝2，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是________．
11 (2023江苏月考)北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界(如图1)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点(包含边界)，则·的最大值是________．
图1 图2
四、 解答题
12 (2023福建期末)已知|a|＝2，|b|＝5.
(1) 若a∥b，求a·b的值；
(2) 若a⊥b，求a·b的值；
(3) 若a，b的夹角为60°，求a·b的值．
13 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，＝λ(<λ<1)，过点F作DF⊥BC交AC于点D，交BA的延长线于点E.
(1) 当λ＝时，设＝a，＝b，用向量a，b表示；
(2) 当λ为何值时，·取得最大值？并求出最大值．
9．2.3　向量的数量积(2)
一、 单项选择题
1 (2023烟台期中)已知向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|的值为(　　)
A. B.
C. D.
2 (2023泰州中学期中)设非零向量m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m＋n|＝2，则m在n上的投影向量为(　　)
A. －m B. m
C. －n D. n
3 (2023苏州期中)在如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，C为半圆上一点且∠OCB＝15°，||＝2，则||等于(　　)
A. 4＋2 B. ＋1
C. －1 D. 4－2
4 (2024泉州期中)如图，点A，B，C均在边长为1的小正方形组成的网格上，则·(－2)的值为(　　)
A. －10 B. －
C. D. 10
5 (2024南通三模)已知三个单位向量a，b，c满足a＝b＋c，则向量b，c的夹角为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024北辰期中)O为△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·＝(＋)·＝(＋)·，则点O是△ABC的(　　)
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
二、 多项选择题
7 (2024广州期中)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0，且|a|＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. |b|＝8 B. a＋b＝0
C. |a－2b|＝6 D. a·b＝4
8 (2024张家界桑植一中月考)已知平面向量m，n满足|m|＝|n|＝1，且对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，则下列结论中正确的是(　　)
A. m与n的夹角为60°
B. (m＋tn)2＋(m－tn)2为定值
C. |n－tm|的最小值为
D. m在m＋n上的投影向量为(m＋n)
三、 填空题
9 若a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝________．
10 (2023威海月考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a，b的夹角为150°，则2a＋b与a的夹角为________．
11 (2024上海期中)如图，C是以AB为直径的半圆O上异于点A，B的动点，点D与点A在直线BC的两侧，且∠BCD＝，||＝||，若||＝2，则·的最大值为________．
四、 解答题
12 (2024常德期中)已知|a|＝1，|b|＝3，(a＋b)·b＝8.
(1) 求|a＋b|的值；
(2) 当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？
13 (2023山东期中)如图，在梯形ABCD中，＝.
(1) 令＝a，＝b，用a，b表示，，；
(2) 若AB＝AD＝2，且·＝12，求cos ∠ABC和||的值．
9．2.3　向量的数量积(1)
1. B　如图，设AD与BE交于点O，由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形，所以∠OAB＝，即向量与的夹角为.
2. B　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|cos θ，所以1≤|b|cos θ≤2，可得03. B　设向量a，b的夹角为θ，若a·b＝|a|·|b|，则a·b＝|a|·|b|＝|a|·|b|·cos θ，所以cos θ＝1，所以θ＝0°，故向量a与b平行且同向，结合必要且不充分条件的性质易知“a∥b”是“a·b＝|a|·|b|”的必要且不充分条件．
4. C　如图，根据|a|＝|b|＝|a－b|可知以a，b，a－b为三边的三角形是等边三角形，根据平行四边形法则，作出a＋b，可知如图的四边形是菱形，则a与a＋b的夹角是30°，所以cos θ＝cos 30°＝.
5. A　设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos θ＝－3，所以cos θ＝－，所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cos θ·＝3cos θ·＝3×·＝－a.
6. A　如图，设OD交AB于点F，则F是AB的中点，且OD⊥AB，所以·＝－·＝－||||·cos ∠OAB＝－||||＝－||2＝－18.
7. BC　设向量b，a的夹角为θ.对于A，当θ为锐角时，a·c＝|a|·|c|＝|c|，c·b＝|c|·|b|cos θ＝|c|2，不一定相等，故A错误；对于B，当θ为锐角时，a·b＝|a|·|b|cos θ＝|b|cos θ＝|c|，a·c＝|a|·|c|＝|c|；当θ为钝角时，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝|b|cos θ＝－|c|，a·c＝－|a|·|c|＝－|c|；当θ为直角时，a·b＝a·c＝0，故B正确；对于C，|a·c|＝|a|·|c|＝|c|≤|b|＝2，故C正确；对于D，a·c＝±|c|，故D错误．故选BC.
8. BCD　·＝||||cos α＝2||cos α，其中α为向量与的夹角，即与的夹角，当点P为点A，点Q为点D时，·＝2||cos α＝2||＝2||，取得最大值4；当点P为点D，点Q为点A时，·＝2||cos α＝－2||＝－2||，取得最小值－4，所以·∈[－4，4].故选BCD.
9. 　设a，b的夹角为θ，因为|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，所以cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝，故a，b的夹角为.
10. 2　由·＝4cos ∠AOB＝2，得cos ∠AOB＝.又0≤∠AOB≤π，所以∠AOB＝，所以该平行四边形的面积S＝2S△OAB＝2××1×4×sin ＝2.
11. 　·＝||×||×cos ∠PAB＝(||×cos ∠PAB)×||，当点P在点C处时，||×cos ∠PAB有最大值，此时||＝2×1×cos 30°＝，·＝||×||×cos 30°＝×1×＝，所以·的最大值是.
12. (1) 当a∥b时，若a，b同向，
则它们的夹角为0°，
所以a·b＝|a||b|cos 0°＝10；
若a，b反向，则它们的夹角为180°，
所以a·b＝|a||b|cos 180°＝－10.
综上，a·b的值为10或－10.
(2) 若a⊥b，则它们的夹角为90°，
所以a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3) 若a，b的夹角为60°，
则a·b＝|a||b|cos 60°＝5.
13. (1) 由题意可知＝b，
所以||＝3×＝2，
所以||＝2||＝4，
所以＝＝a，
所以＝－＝－a＋b.
(2) 由题意，得||＝3λ，||＝3－3λ，
||＝6λ，
所以||＝6λ－3，
所以·＝(6λ－3)(3－3λ)cos 60°＝－9λ2＋λ－，
所以当λ＝－＝∈时，·有最大值.
9．2.3　向量的数量积(2)
1. B　因为向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，则a·b＝|a|·|b|cos 150°＝1××＝－，所以|a＋2b|＝＝＝.
2. C　因为|m|＝2，|n|＝3，|m＋n|＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝8，解得m·n＝－，所以 m在n上的投影向量为·＝－n.
3. C　因为∠OCB＝15°，OC＝OB，所以∠COA＝2∠OCB＝30°.因为||＝2，所以||＝||＝.又＝－，所以||＝|－|＝＝＝－1.
4. A　如图，连接BC.由题意，得||＝||＝＝，||＝＝2，则||2＋||2＝||2，可得∠ABC＝90°，所以·(－2)＝·(－－)＝·(－)＝·－||2＝－10.
5. C　设向量b，c的夹角为θ，因为a＝b＋c，所以a2＝b2＋c2＋2b·c，即1＝1＋1＋2b·c，则b·c＝－，即1×1×cos θ＝－，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量b，c的夹角为.
6. B　由题意，得(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2，(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2，(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2，所以||2－||2＝||2－||2＝||2－||2，可得||＝||＝||，所以点O是△ABC的外心．
7. BC　因为|a＋2b|＝|a|，所以|a＋2b|2＝|a|2，即a2＋4a·b＋4b2＝a2，整理可得a·b＋b2＝0.又a·b＋a2＝0，且|a|＝2，所以a2＝b2＝4，则|b|＝|a|＝2，a·b＝－4，故A，D错误；设向量a，b的夹角为θ，因为cos θ＝＝＝－1，所以θ＝π，即向量a，b的夹角为π，故向量a，b共线且方向相反．又|a|＝|b|，所以a＋b＝0，故B正确；|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝22－4×(－4)＋4×22＝4＋16＋16＝36，所以|a－2b|＝6，故C正确．故选BC.
8. AD　设向量m，n的夹角为θ，因为对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又|m|＝|n|＝1，所以t2＋2t cos θ＋cos θ－≥0对任意的实数t恒成立，所以Δ＝4cos 2θ－4cos θ＋1＝(2cos θ－1)2≤0，解得cos θ＝.又θ∈，所以θ＝60°，故A正确；对于B，(m＋tn)2＋(m－tn)2＝1＋2t cos 60°＋t2＋1＋t2－2t cos 60°＝2＋2t2随t的变化而变化，故B错误；对于C，因为|n－tm|＝＝＝，所以由二次函数的性质可知，当t＝时，|n－tm|取最小值，故C错误；对于D，设向量m，m＋n的夹角为α，因为m·(m＋n)＝m2＋m·n＝1＋1×1×cos 60°＝， ＝＝＝，所以cos α＝＝＝，则m在m＋n上的投影向量为cos α·＝1××＝(m＋n)，故D正确．故选AD.
9. 　因为|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×cos 60°＝7，所以|a＋b|＝.
10. 60°　设向量2a＋b，a的夹角为θ，因为|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为150°，所以a·b＝|a||b|cos 150°＝－，所以|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝1，即|2a＋b|＝1.因为a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝，所以cos θ＝＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°，即2a＋b与a的夹角为60°.
11. 2　因为C为以AB为直径的半圆O上异于点A，B的动点，且||＝2，所以∠ACB＝，OC＝1.又∠BCD＝，||＝||，则A，C，D三点共线，·＝·(＋)＝||2＋·＝||2－(＋)·＝1＋·＝1＋||||＝1＋||.令||2＝t，012. (1) 因为|a|＝1，|b|＝3，(a＋b)·b＝8，
所以(a＋b)·b＝a·b＋b2＝a·b＋32＝8，
则a·b＝－1，
所以|a＋b|＝＝＝＝2.
(2) 由ka－b与a＋2b垂直，
得(ka－b)·(a＋2b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝k×12＋(2k－1)×(－1)－2×32＝0，
解得k＝－17.
13. (1) 因为＝－＝b－a，
所以＝＝(b－a)，
＝－＝(b－a)－a＝b－a，
＝－＝b－a－(b－a)＝－a－b.
(2) 由＝，AD＝2，得BC＝6.
因为·＝(－)·(＋)＝－||2＋·＋||2，
且·＝12，
所以－22＋×6×2×cos ∠ABC＋×62＝12，
解得cos ∠ABC＝.
又||＝2，||＝6，
所以||＝＝＝＝2.

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