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9．3.2　向量坐标表示与运算(1)
一、 单项选择题
1 (2024浙江月考)已知向量＝(1，3)，点A(－1，2)，则点B的坐标为(　　)
A. (0，5) B. (－2，－1)
C. (2，1) D. (5，0)
2 (2024河南月考)已知向量＝(2，－1)，＝(3，2)，点C(－1，2)，则点B的坐标为(　　)
A. (－2，－1) B. (0，5)
C. (2，－5) D. (2，－1)
3 (2023福州日升中学期中)已知点A(2，3)，B(1，4)，且＝－2，则点P的坐标为(　　)
A. (0，5) B.
C. (3，2) D. (－3，2)
4 (2024西安期中)已知A，B，C，D为平面内不同的四点，若＝－2，且＝(2，－1)，则　等于(　　)
A. (4，－2) B. (－4，2)
C. (6，－3) D. (－6，3)
5 (2024莆田月考)已知点O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，P是直线AB上的一点，且满足AP＝2PB，则点P的坐标是(　　)
A. 　 B.
C. 或(10，－9) 　D. 或(10，－9)
6 (2024郑州期中)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB＝4，E为AD的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A.
B.
C. 2
D.
二、 多项选择题
7 (2024河南名师联盟月考)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1≥x2，且y1>y2时，称a b；当且仅当x1A. 若a b且μa λb，则μ≥λ
B. 若a＝(2 022，2 024)，b＝(2 023，2 025)，则a b
C. 若a b，则对于任意向量c，都有(a＋c) (b＋c)
D. 若a b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·c
8 如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若＝λ＋μ，则下列结论中正确的是(　　)
A. 满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点
B. 满足λ＋μ＝4的点P有两个
C. 满足λ＋μ＝3的点P有且只有一个
D. 满足λ＋μ＝1的点P有两个
三、 填空题
9 已知向量a＝(4，－1)，b＝(2，m)，且a＝2b，那么m的值为________.
10 (2024北京三模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则的值为________．
(第10题) (第11题)
11 (2023无锡太湖高级中学月考)如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
四、 解答题
12 (2024周口月考)如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(3，1)，(－4，2)，(－1，4).
(1) 写出向量，，的坐标；
(2) 如果四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标.
13 如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近点B的三等分点，OM交AC于点D，P为线段BC上的一个动点．
(1) 用和 表示；
(2) 设＝λ＋μ，求λ，μ的取值范围．
9．3.2　向量坐标表示与运算(2)
一、 单项选择题
1 (2023淮安淮阴中学期中)已知向量a＝(0，2)，b＝(，1)，(a－kb)⊥(ka＋b)，则实数k的值为(　　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. －1或1
2 (2023深圳期中)已知两点A(4，2)，B(1，6)，则与向量同向的单位向量是(　　)
A. B. (－3，4)
C. D.
3 (2023淮安淮阴中学月考)已知＝(2，3)，＝(3，t)，其中t>0，且||＝，则·的值为(　　)
A. 9 B. －9
C. 22 D. －22
4 (2024连云港期中)已知向量a＝(－2，2)，b＝(1，)，则向量b在向量a方向上的投影向量为　(　　)
A. a B. －a
C. －b D. b
5 (2024常德期中)已知e为单位向量，向量a满足e·a＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　　)
A. 9 B. 2
C. D. 8
6 已知O是坐标原点，A(2，1)，B(－1，3)，P(1，2).若M为直线OP上的一动点，则当·取得最小值时，||的值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，则下列结论中正确的是(　　)
A. a·b＝4
B. (a＋b)2＝
C. (a＋b)·(a－b)＝－8
D. (a－b)2＝10
8 (2023宿迁月考)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，y)，(a＋b)⊥a，则下列结论中正确的是(　　)
A. b＝(2，－3)
B. 向量a，b的夹角为
C. |a＋b|＝
D. a在b方向上的投影向量是(－1，2)
三、 填空题
9 (2023青岛期中)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是AC的中点. 若M为BC的中点，则·的值为________．
10 (2024青岛期中)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(a－λb)⊥2b，则λ＝________．
11 (2024台州期中)在平面向量a，b中，已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则a与b的夹角为______，向量b的坐标为________．
四、 解答题
12 (2023淮安月考)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－2).
(1) 求|a－b|的值；
(2) 已知|c|＝，且(2a＋c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
13 在△ABC中，已知A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，边BC上的高为AD.
(1) 求证：AB⊥AC；
(2) 求点D和向量的坐标；
(3) 设∠ABC＝θ，求cos θ的值．
9．3.2　向量坐标表示与运算(1)
1. A　设O为坐标原点，则＝＋，因为A(－1，2)，所以＝(－1，2).又＝(1，3)，所以＝(0，5)，所以点B的坐标为(0，5).
2. A　由题意，得＝－＝(2，－1)－(3，2)＝(－1，－3).设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝(－1，－3)，可得点B的坐标为(－2，－1).
3. A　设O为坐标原点，则＝＋＝－2＝－2(－)，整理，得＝2－＝(2，8)－(2，3)＝(0，5)，即点P的坐标为(0，5).
4. A　由＝－2，可得＋＝－，即＝，即＝，所以＝＋＝2＝(4，－2).
5. C　若＝2，则＝＋，所以＝(2，3)＋(6，－3)＝，则点P的坐标是；若＝2，则＝2－＝2(6，－3)－(2，3)＝(10，－9)，则点P的坐标是(10，－9).综上，点P的坐标是或(10，－9).
6. B　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)，C(4，0)，A(0，4)，B(2，4)，E(0，2)，所以＝(－4，4)，＝(－4，2)，＝(2，4).因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以(－4，4)＝λ(－4，2)＋μ(2，4)，则解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
7. BC　对于A，取a＝(1，1)，b＝(－1，－1)，满足a b，取μ＝－1，λ＝2，则－a＝(－1，－1)，2b＝(－2，－2)，满足μa λb，但μ<λ，故A错误；对于B，因为2 022<2 023，2 024<2 025，所以根据新定义可知a b，故B正确；对于C，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x0，y0).由a b，得x1≥x2，且y1>y2，则x1＋x0≥x2＋x0，且y1＋y0>y2＋y0，所以(a＋c) (b＋c)，故C正确；对于D，根据a b，取a＝(－2，－2)，b＝(－1，－1)，c＝(－1，－1)，则a·c＝4，b·c＝2，a·c>b·c，故D错误．故选BC.
8. CD　设AB＝1，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则＝(1，0)，＝(－1，1)，设点P(x0，y0)，则(x0，y0)＝(λ，0)＋(－μ，μ)，即解得故λ＋μ＝x0＋2y0.对于A，若λ＋μ＝2，则x0＋2y0＝2，可知直线x0＋2y0＝2与正方形边界交于点D和BC的中点，故A错误；同理可得C，D正确；对于B，若λ＋μ＝4，则x0＋2y0＝4，可知直线x0＋2y0＝4与正方形边界没有交点，故B错误．故选CD.
9. －　因为a＝(4，－1)，b＝(2，m)，且a＝2b，所以(4，－1)＝2(2，m)＝(4，2m)，所以2m＝－1，解得m＝－.
10. －4　根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(0，4)－(1，6)＝(－1，－2)，b＝(7，2)－(1，6)＝(6，－4)，c＝(2，0)－(7，2)＝(－5，－2)，所以λa＋μb＝λ(－1，－2)＋μ(6，－4)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ).因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以(－5，－2)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，可得解得λ＝2，μ＝－，所以＝－4.
11. 　以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0).因为∠BOC＝30°，OC＝2，所以C(，1).因为∠BOA＝120°，OA＝2，所以A(－1，).因为＝λ＋μ，所以(，1)＝λ(－1，)＋μ(2，0)，即解得所以λ＋μ＝.
12. (1) ＝(－4，2)－(3，1)＝(－7，1),
＝(－1，4)－(3，1)＝(－4，3),
＝(－1，4)－(－4，2)＝(3，2).
(2) 设点D的坐标为(x，y)，
由＝＝(3，2)，得x－3＝3，y－1＝2，
所以x＝6，y＝3，
即点D的坐标为(6，3).
13. (1) 因为M为AB上靠近点B的三等分点，
所以＝＝(－).
又CB∥OA，且CB＝OA，故＝，
则＝－＝－(－)＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋，
即＝＋.
(2) 以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设OA＝2，则A(2，0)，C(0，1)，B(1，1)，O(0，0).
因为点P在线段CB上运动，
故可设其坐标为(m，1)，0≤m≤1，
所以＝(1，1)，＝(2，－1)，＝(m，1).
由＝λ＋μ，得1＝2λ＋μm，1＝－λ＋μ，
则μ＝，λ＝μ－1.
因为m∈[0，1]，所以m＋2∈[2，3]，
故μ∈，λ∈，
即μ的取值范围为，λ的取值范围为.
9．3.2　向量坐标表示与运算(2)
1. D　由已知可得a2＝02＋22＝4，b2＝()2＋12＝4，a·b＝2.因为(a－kb)⊥(ka＋b)，所以(a－kb)·(ka＋b)＝0，即ka2＋(1－k2)a·b－kb2＝0，即4k＋2(1－k2)－4k＝0，解得k＝±1.
2. D　由A(4，2)，B(1，6)，得＝(－3，4)，则||＝＝5，所以与向量同向的单位向量为＝.
3. C　因为＝(3，t)，且||＝，所以＝，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以＝(3，1).又＝(2，3)，所以＝＋＝(5，4)，故·＝(2，3)·(5，4)＝10＋12＝22.
4. A　由a＝(－2，2)，b＝(1，)，得|a|＝＝4，a·b＝－2×1＋2×＝4，所以向量b在向量a方向上的投影向量为a＝a＝a.
5. C　设e＝(1，0)，a＝(x，y).由e·a＝3，得x＝3，则a＝(3，y).又λe－a＝(λ，0)－(3，y)＝(λ－3，－y)，且|λe－a|＝1，所以＝1，即y2＝1－(λ－3)2，所以|a|＝＝≤，当且仅当λ＝3时，取得等号，所以|a|的最大值为.
6. A　由已知，得＝(1，2)，因为M为直线OP上的一动点，所以可设λ＝(λ∈R)，可得M(λ，2λ)，则＝(λ－2，2λ－1)，＝(λ＋1，2λ－3)，所以·＝(λ－2)(λ＋1)＋(2λ－1)(2λ－3)＝5λ2－9λ＋1，当且仅当λ＝时，·取得最小值，此时M，所以＝，所以||＝.
7. ACD　因为a·b＝－1×2＋2×3＝4，故A正确；因为a＋b＝(1，5)，a－b＝(－3，－1)，所以(a＋b)2＝26，(a－b)2＝10，故B错误，D正确；因为(a＋b)·(a－b)＝－8，故C正确．故选ACD.
8. BD 　由a＝(1，3)，b＝(2，y)，得a＋b＝(3，3＋y).因为(a＋b)⊥a，所以3×1＋3×(3＋y)＝0，解得y＝－4，所以b＝(2，－4)，故A错误；设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量a，b的夹角为，故B正确；因为a＋b＝(1，3)＋(1，－2)＝(2，1)，所以|a＋b|＝，故C错误；a在b方向上的投影向量为＝(－1，2)，故D正确．故选BD.
9. 8　以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由AB＝AC＝5，BC＝8，得AO＝3，则A(0，3)，B(－4，0)，C(4，0)，D.当M为BC的中点时，有M(0，0)，＝(4，0)，＝，故·＝8.
10. 　因为向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以a－λb＝(1－2λ，2－3λ)，2b＝(4，6).因为(a－λb)⊥2b，所以(a－λb)·2b＝(1－2λ)×4＋(2－3λ)×6＝0，解得λ＝.
11. 0　 　因为a＝(4，－3)，所以|a|＝＝5.又|b|＝1，且a·b＝5，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝1×5cos θ＝5，解得cos θ＝1.又θ∈[0，π]，所以θ＝0，即a与b的夹角为0，所以a与b同向共线．又|b|＝1，所以b为a方向上的单位向量，所以b＝＝(4，－3)＝.
12. (1) 因为a＝(1，2)，b＝(3，－2)，
所以a－b＝(－2，4)，
所以|a－b|＝＝2.
(2) 设向量a，c的夹角为θ，
因为a＝(1，2)，|c|＝，(2a＋c)⊥c，
所以|a|＝，(2a＋c)·c＝0，
所以2a·c＋c2＝0，
所以2|a||c|cos θ＋|c|2＝0，
即2×××cos θ＋10＝0，
解得cos θ＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即向量a与向量c的夹角为.
13. (1) 由题意，得＝(－3，－6)，＝(2，－1)，
因为·＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，
所以AB⊥AC.
(2) 设点D的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5，5).
因为AD⊥BC，
所以·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又＝(x＋1，y＋2)，与共线，
所以存在实数λ，使＝λ，
即(5，5)＝λ(x＋1，y＋2)，
所以
消去λ，得5(x＋1)－5(y＋2)＝0.②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点D的坐标为，＝.
(3) 因为＝(3，6)，＝(5，5)，
所以cos θ＝＝＝.

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