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9．3.3　向量平行的坐标表示
一、 单项选择题
1 (2024河北期中)若向量a＝(2，2)，b＝(x，x3)，a∥b，则实数x的取值集合为(　　)
A. {－1，1}
B. {－2，2}
C. {－1，0，1}
D. {－2，0，2}
2 (2024秦皇岛二模)已知向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1，4m＋1)，则“m＝－”是“a与b共线”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2023六安新安中学期中)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2).若a∥b，则a－2b等于(　　)
A. (3，－1)
B. (2，1)
C. (－2，－1)
D. (10，5)
4 (2024湖北月考)已知点A(2，1)，B(1，m＋1)，C(m＋2，－3)，且||·||＝·，则实数m的值为(　　)
A. ± B. ±2
C. D. 2
5 (2024郑州期中联考)已知平面向量a＝(1，0)，b＝(－2，1)，且(a－mb)∥(a＋b)，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 0
C. 1 D.
6 (2023滨州一中期中)某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则实数m的值为(　　)
A. 7 B. C. D. 8
二、 多项选择题
7 (2023肇庆一中期中)在下列向量组中，可以作为基底的是(　　)
A. e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B. e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C. e1＝(3，5)，e2＝(6，8)
D. e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
8 已知向量＝(1，2)，＝(－2，4)，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝(－3，2)
B. ||＝2||
C. ∥
D. 与方向相同的单位向量为(，)　
三、 填空题
9 (2023天津期中)若A(1，1)，B(2，－1)，C(a，b)三点共线，则2a＋b＝________．
10 (2024泰安期中)已知向量a＝(m，4)，b＝(1，m)，若a与b反向共线，则|a－2b|的值为________．
11 (2023天津南开中学期中)已知点B(6，5)，若向量与a＝(2，3)同向，||＝2，则点A的坐标为________．
四、 解答题
12 如图，在平面直角坐标系xOy中，||＝2||＝2，＝(－1，)，∠OAB＝.
(1) 求点B的坐标；
(2) 求证：OC∥AB.
13 (2024连云港期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，－3)，B(6，8)，点M满足＝λ，λ∈R.
(1) 若AM⊥OB，求实数λ的值；
(2) 若(＋)∥，求点M的坐标．
9．3.3　向量平行的坐标表示
1. C　因为a∥b，a＝(2，2)，b＝(x，x3)，所以2x3－2x＝0，解得x＝1或x＝－1或x＝0，即实数x的取值集合为{－1，0，1}．
2. A　向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1，4m＋1)，若a与b共线，则m(4m＋1)－(2m＋3)＝0，解得m＝－或m＝1，所以“m＝－”是“a与b共线”的充分且不必要条件．
3. D　因为向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，a∥b，所以x＋4＝0，解得x＝－4，所以b＝(－4，－2)，所以 a－2b＝(2，1)－(－8，－4)＝(10，5).
4. D　由||·||＝·，得 与 的夹角为180°.＝(－1，m)，＝(m，－4)，由∥，得m2＝4，即m＝±2.当m＝2时，＝－2，与的夹角为180°，满足题意；当 m＝－2时，＝2，与的夹角为0°，不满足题意，故舍去．综上，实数m的值为2.
5. A　因为a＝(1，0)，b＝(－2，1)，所以a－mb＝(1，0)－m(－2，1)＝(1＋2m，－m)，a＋b＝(－1，1).又(a－mb)∥(a＋b)，所以1＋2m＝m，解得m＝－1.
6. C　由图可知，A(3，3)，B(5，6)，C(m，10)，所以＝(2，3)，＝(m－5，4).因为 ∥，所以3(m－5)＝2×4，解得m＝.
7. BC　对于A，因为0×2－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故A错误；对于B，因为－1×(－2)－2×5＝－8≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故B正确；对于C，因为3×8－5×6＝－6≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故C正确；对于D，因为2×3－(－3)×(－2)＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故D错误．故选BC.
8. ABD　＝－＝(－3，2)，故A正确；||＝2，||＝，即||＝2||，故B正确；1×4≠2×(－2)，故C错误；＝，故D正确．故选ABD.
9. 3　因为A(1，1)，B(2，－1)，C(a，b)三点共线，所以∥.又＝(1，－2)，＝(a－1，b－1)，所以b－1＝－2(a－1)，整理可得2a＋b＝3.
10. 4　向量a＝(m，4)，b＝(1，m), 若a与b反向共线，则有m2＝4，解得m＝±2.当m＝2时，a＝(2，4)，b＝(1，2)，a＝2b，a与b同向共线，不满足题意，舍去；当m＝－2时，a＝(－2，4)，b＝(1，－2)，a＝－2b，a与b反向共线，此时a－2b＝(－4，8)，则|a－2b|＝＝4.
11. (2，－1)　设A(x，y)，＝λa，λ>0，则(6－x，5－y)＝(2λ，3λ)，所以又||＝λ|a|＝λ＝2，所以λ＝2，可得故点A的坐标为(2，－1).
12. (1) 因为∠OAB＝，||＝1，
所以＝＝，
则＝＋＝(2，0)＋(，)＝，
所以点B的坐标为.
(2) 由题意，得＝＋＝＋(－1，)＝.
因为＝，所以＝3.
又OC，AB不共线，故OC∥AB.
13. (1) 因为A(－4，－3)，B(6，8)，＝(6，8)，
所以＝λ＝(6λ，8λ)，
则＝－＝(6λ＋4，8λ＋3).
因为⊥，
所以·＝6(6λ＋4)＋8(8λ＋3)＝100λ＋48＝0,
解得λ＝－0.48.
(2) 由(1)知 ＋＝(6λ－4，8λ－3)，＝(10，11),
又(＋)∥，
则11(6λ－4)－10(8λ－3)＝－14λ－14＝0,
解得λ＝－1，所以点M的坐标为(－6，－8).

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