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9．4　向 量 应 用
9.4.1　向量应用(1)
一、 单项选择题
1 在四边形ABCD中，若·＝0，且＝，则该四边形是(　　)
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 直角梯形 D. 矩形或直角梯形
2 (2024合肥期中)如图，一条河的南北两岸平行．已知游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A处航行到正北方向上位于北岸的码头B处，其实际航行速度的大小为(　　)
A. 2 km/h
B. 2 km/h
C. 2 km/h
D. 14 km/h
3 (2023潍坊四中月考)在△ABC中，设点O是△ABC的外心，且＝＋，则∠BAC等于(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，点D在边BC上，且BD＝BC，则AD的长度为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024常德期中)在△ABC中，·＋||2＝0，·＝，则△ABC为(　　)
A. 等腰直角三角形
B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形
D. 等腰(非直角)三角形
6 一条河两岸平行，河的宽度为200 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝6 km/h.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为θ，行驶完全程需要的时间为t(单位：min)，若船的航程最短，则下列结论中正确的是(　　)
A. <θ<，t＝1.5 B. <θ<，t＝1.5
C. <θ<，t＝2 D. <θ<，t＝2
二、 多项选择题
7 一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一个力F2未知，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N　
B. 当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力的大小为0 N
C. 当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D. 当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
8 (2024深圳月考)已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题中正确的有(　　)
A. 若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B. 若||＝||＝||，则点O为△ABC的外心
C. 若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的内心
D. 若·＝·＝·，则点O为△ABC的垂心
三、 填空题
9 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体．已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________N.
10 在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是________三角形．
11 (2024苏州月考)在△ABC中，已知AB＝6，BC＝5，D是边AB的中点，P为线段CD的中点，则PA2＋PB2的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024福建月考)如图，一条河南北两岸平行．河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的A′处在A处的正北方向．
(1) 若游船沿AA′到达北岸A′处所需的时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值；
(2) 当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
13 (2024浙江期末)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为边BC，AC上的点，＝，＝，AM，BN相交于点P.
(1) 求||的值；
(2) 求证：AM⊥PN.
9．4.2　向量应用(2)
一、 单项选择题
1 已知向量a＝(cos 58°，sin 58°)，b＝(cos 13°，sin 13°)，利用a·b＝|a||b|·cos θ＝x1x2＋y1y2计算cos 58°cos 13°＋sin 58°sin 13°的值为(　　)
A. cos 58° B. cos 13°
C. D.
2 在△ABC中，已知点A(0，1)，B(3，2)，C(2，0)，则角A的大小为(　　)
A. B.
C. D.
3 (2023扬州期中)如图，已知树顶A离地面 m，树上另一点B离地面 m，某人在离地面 m的C处看此树，则当该人看A，B的视角最大时，离此树的距离为(　　)
A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 7 m
4 (2023宁波中学期中)在△ABC中，已知D是BC的中点，且|＋|＝|－|，||＝||，则向量在上的投影向量为(　　)
A. B.
C. － D. －
5 在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上运动(包含端点)，则·的取值范围为(　　)
A. B. [2，4]
C. D.
6 (2024黑龙江期中)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线．已知点G，H，O分别为△ABC的重心、垂心、外心，D为AB的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝ B. ＝2
C. ＝3 D. ＝4
二、 多项选择题
7 (2024佛山期中)已知点A(－2，1)，B(3，－2)，C，D(1，6)，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB∥CD B. AB⊥AD
C. AC＝BD D. AC⊥BD
8 (2024辽宁实验中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若点O为△ABC的外心，且＋＋2＝0，则⊥
B. 若点O为△ABC的内心，AB＝AC＝2，BC＝3，＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝
C. 若点O为△ABC的重心，a＋b＋c＝0，则A＝60°
D. 若点O为△ABC的外心，且点O到a，b，c三边的距离分别为k，m，n，则k∶m∶n＝cos A∶cos B∶cos C
三、 填空题
9 已知在△ABC中，||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状是________．
10 已知E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，且AB＝3，CD＝2，∠ABC＝45°，∠BCD＝75°，则线段EF的长为________．
11 (2024合肥月考)已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AC上，且AD＝AC，E为边AB的中点，CE与BD交于点O，则∠DOC的余弦值为________．
四、 解答题
12 (2023山东部分学校期中联考)如图，AB为半圆O的直径，且AB＝2，C为上一点(不含端点).
(1) 用向量的方法证明AC⊥BC；
(2) 若C是上靠近点B的三等分点，Q为上的任意一点(不含端点)，求·的最大值．
13 (2024深圳月考)如图，△ABC的三个顶点是三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的点D，E，F上．岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上．设＝a，＝b.
(1) 用a，b表示，；
(2) 如果∠ACB＝60°，AC＝20 n mile，且CD⊥EF，求岛屿C到补给站D的距离以及岛屿A到岛屿B的距离．
9．4　向 量 应 用
9.4.1　向量应用(1)
1. B　由＝，知四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，即AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形．
2. A　设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，由题意，得(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋v＝10×4×cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－，所以(v1＋v2)2＝v＋v＋2v1·v2＝100＋16－2×10×4×＝84，故|v1＋v2|＝2.
3. C　因为＝＋，所以点O是△ABC的重心．又点O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°.
4. D　在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝BC，则＝＋＝＋(－)＝＋.又||＝1，||＝2，∠BAC＝60°，所以||＝＝＝，即AD的长度为.
5. A　因为·＋||2＝0，即(＋)·＝0，即·＝0，所以⊥，即AC⊥BC，则∠ACB＝.因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以·＝1×1×cos ∠CAB＝.又∠CAB∈，所以∠CAB＝，所以∠CBA＝，所以△ABC是等腰直角三角形．
6. B　如图，sin α＝＝，所以7. ACD　对于A，由题知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图1知|F2|＝5 N，故A正确；对于B，如图2，物体所受合力应等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，故C正确；对于D，由上知，重力G与水平拉力F1的合力为，||＝5 N，易知当F2与同向时合力最大，最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确．故选ACD.
　
图1 图2
8. ABD　对于A，如图，设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F，则＋＝2.又＋＋＝0，所以＋2＝0，即＝－2，可得A，O，D三点共线，所以点O在中线AD上，同理可得点O在中线BE，CF上，则点O是△ABC的重心，故A正确；对于B，若||＝||＝||，则点O为△ABC的外心，故B正确；对于C，设边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，由(＋)·＝0，得2·＝0，所以OF为线段AB的垂直平分线，同理可得OE，OD分别为线段AC，BC的垂直平分线，则O为三角形三条边垂直平分线的交点，所以点O为△ABC的外心，故C错误；对于D，由已知可得·－·＝·(－)＝·＝0，即OB⊥CA，所以点O在边AC的高上，同理可得点O在边AB的高上，点O 在边BC的高上，所以点O是△ABC的垂心，故D正确．故选ABD.
9. 10　因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，所以每根绳子的拉力大小都是10 N.
10. 直角　因为·＋||2＝·(＋)＝·＝0，所以AB⊥AC，则△ABC是直角三角形．
11. (20，50)　设AC＝x，则由三角形的性质可得112. (1) 如图1，设游船的实际航行速度为v，
由AA′＝1 km，6 min＝0.1 h，得|v|＝10 km/h，
又|v2|＝4 km/h，
所以|v1|2＝|v|2＋|v2|2＝102＋42＝116，
解得|v1|＝2 km/h，
所以cos θ＝－＝－，
故v1的大小为2 km/h，cos θ的值为－.
(2) 当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，
如图2，设到达北岸B处所用的时间为t h，
则AB2＝|tv|2＝t2(v1＋v2)2＝t2(102＋42＋2×10×4×cos 60°)＝156t2，可得AB＝2t km.
在Rt△AA′C中，t|v1|cos 30°＝1，解得t＝ h，
所以AB＝×2＝(km)，
故游船的实际航程为 km.
图1 图2
13. (1) 由＝，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以||2＝＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×4×＋×16＝，
故||＝.
(2) 因为＝，
所以＝＋＝－＋，
则·＝(＋)·(－＋)＝－||2＋||2＝－×4＋×16＝0，
所以⊥，所以AM⊥BN，即AM⊥PN.
9．4.2　向量应用(2)
1. D　由题意知a·b＝|a||b|cos θ，若将两向量的起点定为坐标原点，则两向量的终点均落在单位圆上，且a在58°角的终边上，b在13°角的终边上，所以θ＝58°－13°＝45°. 又|a|＝|b|＝1，所以原式＝a·b＝|a||b|·cos 45°＝1×1×＝.
2. D　由题意，得＝(3，1)，＝(2，－1)，·＝6－1＝5.又||＝，||＝，所以cos ∠BAC＝＝＝.又0＜∠BAC＜π，所以∠BAC＝.
3. C　如图，建立平面直角坐标系，则A，B，设C(x>0)，则＝(－x，9)，＝(－x，4)，则cos ∠ACB＝＝＝≥.又0<∠ACB<π，且余弦函数在区间(0，π)上单调递减，则当＝，即x＝6时，∠ACB最大．故当该人离此树6 m时，看A，B的视角最大．
4. A　因为|＋|＝|－|，所以(＋)2＝(－)2，即·＝0，则⊥.因为D是BC的中点，所以||＝||＝||.又因为||＝||，所以△ABD为等边三角形．过点A作AE⊥BD交BD于点E，则E为BD的中点，所以向量在向量上的投影向量为＝.
5. D　以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由AB＝，BC＝2，得B(，0)，C(，2)，D(0，2).又点E在边CD上运动(包含端点)，则可设E(a，2)，0≤a≤，所以＝(a，2)，＝(a－，2)，故·＝a(a－)＋2×2＝a2－a＋4＝＋.因为0≤a≤，所以＋∈，即·的取值范围为.
6. B　如图，因为点O为△ABC的外心，D为AB的中点，所以OD⊥AB.因为点H为△ABC的垂心，所以CH⊥AB，所以CH∥OD，可得△DOG∽△CHG，所以＝.因为点G为△ABC的重心，所以CG＝2DG，所以CH＝2DO，所以＝2.
7. AB　因为点A(－2，1)，B(3，－2)，C，D(1，6)，所以 ＝(5，－3)，＝，＝，＝(3，5)，＝(－2，8).由5×＝(－3)×(－4)，得∥，故A正确；因为5×3＋(－3)×5＝0，所以⊥，故B正确；因为||＝＝，||＝＝，所以AC≠BD，故C错误；因为7×(－2)＋×8≠0，所以AC⊥BD不成立，故D错误．故选AB.
8. ABD　对于A，因为点O为△ABC的外心，所以||＝||＝||.因为＋＋2＝0，所以＋＝－2，则(＋)2＝(－2)2，即||2＋3||2＋2·＝4||2，可得·＝0，则⊥，故A正确；对于B，如图，连接AO，BO，CO，延长AO交BC于点D.因为AB＝AC，所以D为BC的中点，且AD⊥BC.因为AB＝AC＝2，BC＝3，所以AD＝＝.由三角形内心的性质，可得×(2＋2＋3)OD＝×3×，解得OD＝，则AO＝，所以＝＝＋.因为＝m＋n＝m＋n(－)＝(m－n)＋n， 所以m－n＝，故B正确；对于C，因为点O为△ABC的重心，所以＋＋＝0.又a＋b＋c＝0，可得a＝b，c＝a，此时△ABC不是等边三角形，所以A≠60°，故C错误；对于D，设△ABC外接圆的半径为R，因为点O到a，b，c三边的距离分别为k，m，n，所以S△OBC＝ak＝R2sin A cos A，S△OAC＝bm＝R2sin B cos B，所以＝＝＝＝，可得＝，同理可得＝，所以k∶m∶n＝cos A∶cos B∶cos C，故D正确．故选ABD.
9. 等边三角形　因为·＝||||·cos A＝8，所以cos A＝，可得A＝60°.又因为||＝||，所以△ABC是等边三角形．
10. 　如图，作AH∥CD，交BC于点H，则∠BHA＝∠BCD＝75°，所以∠BAH＝180°－45°－75°＝60°.设，的夹角为θ，则cos θ＝cos ∠BAH＝.因为＝＋＋，＝＋＋，且＝－，＝－，所以2＝＋＋＋＋＋＝＋，所以||2＝(＋)2＝||2＋||2＋||·||cos θ＝＋1＋＝，所以||＝.
11. 　在正三角形ABC中，因为E为边AB的中点，所以CE⊥AB.如图，以E为坐标原点，EB，EC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则E(0，0)，A(－1，0)，B(1，0)，C(0，).因为AD＝AC，所以＝＝(1，)＝，可得D，则＝.又＝(0，)，所以cos ∠DOC＝＝＝.
12. (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，
设∠COB＝α，α∈(0，π)，
则A(－1，0)，B(1，0)，C(cos α，sin α)，
所以＝(cos α＋1，sin α)，＝(cos α－1，sin α)，
可得·＝cos2α－1＋sin2α＝1－1＝0，
所以⊥，即AC⊥BC.
(2)由题意可得∠COB＝，则C.
设∠QOB＝β，则β∈，Q(cos β，sin β)，
由(1)，得＝－＝，＝(－1－cos β，－sin β)，
所以·＝－－cos β＋sin β＝sin (β－)－.
由β∈，得β－∈，
当β－＝，即β＝时，(·)max＝，
故·的最大值为.
13. (1) 由题意，得＝，＝－，＝.
又＝a，＝b，
所以＝＋＝－＋＝a－b，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
(2) 由题意，得CD⊥EF，|b|＝||＝AC＝20，
所以·＝·＝0，
即a2－b2＝0，
所以|a|2－×202＝0，解得|a|＝30.
又∠ACB＝60°，所以a·b＝20×30×＝300，
则||＝＝
＝＝12.
因为＝－＝a－b，
所以||＝＝＝＝10.
综上，岛屿C到补给站D的距离为12 n mile，岛屿A到岛屿B的距离为10 n mile.

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