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湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023 2024学年高三下学期5月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．1千米 B．2千米 C．3千米 D．6千米
6．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
7．若与的夹角为钝角，则的取值可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
8．在三棱柱中，侧棱平面ABC，，，，，P为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
10．已知二项式的展开式中（ ）
A．含项的系数为28 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项是第五项 D．系数最大的项是第六项
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到
B．，则
C．是偶函数
D．在区间上单调递增
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为
C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6
三、填空题（本大题共4小题）
13．若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则 .
14．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ．
15．已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为 .
16．设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．设函数，已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为π．
(1)求函数的解析式；
(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中），且，的面积为，，求b，c的值．
18．已知数列的首项为1，前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，，求二面角的余弦值．
21．函数．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若在恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
又，
所以.
故选：C.
2．【答案】C
【详解】因为，所以，
故，复数z的虚部为1.
故选：C
3．【答案】A
【详解】因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故选：A
4．【答案】C
【详解】解：因为圆锥的底面半径为1，高为，
所以圆锥的母线，
所以该圆锥的表面积.
故选：C.
5．【答案】A
【详解】解：如图所示，
中，，
由余弦定理可得：
，
解得，
所以处与处之间的距离为1千米．
故选：A．

6．【答案】B
【详解】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，
故选：B．
7．【答案】C
【详解】若与的夹角为钝角，则，解得，
当时，若与共线，则，解得，
故若与的夹角为钝角，等价于，
A、B、D错误，C正确.
故选：C.
8．【答案】B
【详解】连接，交于点O，连接OP．因为平面ABC，
所以在矩形中，由P为的中点，知．
在中，，
所以．在中，，
所以，所以，又O为的中点，所以，
又在矩形中，，
所以点为四棱锥外接球的球心，所以外接球的半径，其表面积，
故选：B．
9．【答案】ACD
【详解】解：由，解得，故选项A正确；
体重不低于60千克的频率为，
所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为人，故选项B错误；
100名学生体重的众数约为，故选项C正确；
因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在，的频率为，
所以计该校学生体重的分位数约为，故选项D正确．
故选：ACD．
10．【答案】BC
【详解】二项式的展开式的通项公式为.
对于A：含项为.故A错误；
对于B：在二项式的展开式中，令x=1，可得所有项的系数和为1.故B正确；
对于C：二项式的展开式一共有9项，由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项是第五项. 故C正确；
对于D：每一项的系数记为.显然r为奇数，；r为偶数，.
要求系数最大的项，只需比较r为偶数的情况：
r=0时，；r=2时，；r=4时，；
r=6时，；r=8时，.
故系数最大的项为第七项.故D错误.
故选：BC.
11．【答案】AD
【详解】对于A,的图象向右平移个长度单位得到，故A正确，
对于B，因为，由可知为最值，又故,故B错误，
对于C,为奇函数，故错误，
对于D,，故在区间上单调递增，正确，
故选：AD
12．【答案】ACD
【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A正确；
对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，
因为，所以，
即，
所以，故B错误；
对于C,由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，
因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，
故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C正确；
对于D,因为，，
所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确．
故选：ACD
13．【答案】
【详解】由抛物线的定义可得，解得.
故答案为：2.
14．【答案】
【详解】因为直线恒过,和，
所以，.
由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示
由图象可知，或,即或，
所以的斜率的取值范围是为.
故答案为：.
15．【答案】
【详解】，
故，
故以为邻边的平行四边形为矩形，面积为.
故答案为：
16．【答案】或
【详解】解：圆，即，
所以圆心为，半径，
又直线被圆截得的弦长，
圆心到直线的距离，
①当直线过且斜率不存在时，
的方程为，满足圆心到的距离为，
，满足题意；
②当直线过且斜率存在时，
设为，即，
圆心到直线的距离，
解得，直线方程为，
综合可得直线的方程为或，
故答案为：或．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
函数的图象的相邻对称轴的距离为．函数的周期为，
，即函数的解析式；
（2）由，得，即，，
面积为，，即，
由余弦定理得，，
即，，
则或，又，故.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
当时，，所以，
所以，所以，因为，所以，
所以，
所以当时，，
又时，也符合，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以.
19．【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，
【详解】（1）依题意列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关；
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望为．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】解析：（1）证明：如图，连接，交于点N，
∴N为的中点，
连接，由M为棱的中点，则．
∵面，面，∴平面．
∵，∴四边形为平行四边形，
∴．又平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面．
（2）∵平面是正方形
∴分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，
则
设平面的法向量为，则
∵平面平面，又
∴平面，∴平面的法向量为．
，
由图可知二面角为钝角，
∴二面角的余弦值为．
21．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
可知的定义域为，且，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，
所以；
当时，则，
设，则，
可知在递增，且．
则，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
可知函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2）存在；．
【详解】（1）由，可设，则方程化为
又点在椭圆上，则，解得
因此椭圆的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
联立直线和椭圆的方程消去得，
化简得：
当时，取得最大值，即此时
又，则
即
令，则
因此平面内存在两点使得．
当直线的斜率不存在时，设，则
，即当取得最大值．
此时中点的坐标为，满足方程
即．

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