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河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2025届高三第二次调研考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表：
身高（cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180]
频数 10 20 30 25 10 5
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100名学生身高的中位数小于160cm
B．100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过
C．100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间
D．100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设定义运算，已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．2π是的一个周期
C．在上单调递减 D．的最小值为
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）
A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B．若，则的最大值为4
C．若存在点P使得，则
D．若存在点Q使得，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ．
13．若正实数是关于的方程的根，则 .
14．如图，在的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出 个棋子才可能满足要求.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线的长为，求.
16．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．
17．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
(1)若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
(2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
19．若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”.
(1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由；
(2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”；
(3)证明：存在满足的数列“非零可表”.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，故，
故选B.
2．【答案】C
【详解】由 ．
故选C.
3．【答案】B
【详解】不等式等价于等价于，所以，
即，解得或，
故能推出成立，但是成立不一定有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B
4．【答案】D
【详解】100名学生身高的中位数是第和第名学生身高的平均值，
第名和第名学生的身高均大于，所以100名学生身高的中位数大于160cm，故A错误；
100名学生中身高低于165cm的学生有名，
所以100名学生中身高低于165cm的学生所占比例为，故B错误；
100名学生身高的极差最大为，最小为，
但是“介于”不能准确表示临界值能否取到，故C错误；
100名学生身高的平均值为，故D正确.
故选D.
5．【答案】C
【详解】解：由题意，，得，解得，
所以，
故选C.
6．【答案】A
【详解】由于且二面角的大小为，故为二面角的平面角，故，
由于平面，故平面，
设，则，
在中，由余弦定理可得
，
则的外接圆直径，
故外接球的半径
当时，球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球体积最小，
故.
故选A.
7．【答案】B
【详解】依题意，
又因为，则，
由得，
又，
，
两式相加得，即，
所以.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由，
构造函数，则.
由可知：当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，取得最大值.
由在单调递增可知：，即.
由在单调递减区间，令有两个解，且，
则，可得①，得②，
令，则，当时在上单调递增，
所以当时，，即时，.
若，即，结合①②，得，则有.
又所以当时，，故，由在单调递减知：
，即.
故.
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】，
，
对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，，不共线，错误；
对选项D：，正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】
因为，画出的图象，如图
对于A：，即所以不是偶函数，A错误；
对于B：由图可知的一个周期为，B正确；
对于C：当时，，则，而在上单调递减，C正确；
对于D：由图可知，的最小值为，D错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，
A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，
此时离心率，对；
B：当时，令，则，而，
所以，又，故，
所以的最大值为，错；
C：由，若，则，
由，令，且，
则，即，
所以，则，且，故，对；
D：令，若，所以，
则，所以，
轨迹是圆心为，半径为的圆，
而与的距离为，要使点Q存在，
则，可得，且，即，对；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】设所求双曲线方程为，
将点代入双曲线方程得，故方程为．
13．【答案】0
【详解】令，则在上单调递增，
，即，故，
∵正实数是方程的根，
，则，得，即.
14．【答案】11
【详解】如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为.
第一步通过反证法证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，
即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.
假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.
如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，
后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.
这样10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.
同理由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，
且只能分布在、、、这些方格.
同理、、、这些方格上至少要取出2个棋子.
在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，
分布在、、、、、、、、所在区域，
同理、、、、、、、、所在区域内至少取出3个棋子.
这样在这些区域内至少已取出了10个棋子.
因此在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，
从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾，故假设不成立，则若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，
第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.
如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.
综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，所以，
由及余弦定理得，
代入，得，
化简得，故；
（2）因为，所以，故，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得.
16．【答案】（1）见解析（2）
【详解】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以
不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则所以
不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.
由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C－PB－A的余弦值为.
17．【答案】(1)（i）分布列见解析，期望为；（ii）；
(2).
【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
的数学期望为
（ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，
因此，
所以事件 “” 的概率为.
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，
（），
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，所以，即的期望为.
18．【答案】(1)
(2)是，MN的中点为
【详解】（1）由题意得，，又，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，
因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在，
故设直线BC的方程为：，其中，
由得：，
，得；
+，，
又因为直线AB的方程:，得，
同理
由+=
=
=
故MN的中点为.
19．【答案】(1)不“非零可表”，理由见解析；
(2)证明过程见解析；
(3)证明过程见解析
【详解】（1）不“非零可表”，理由如下：
中，则当，
，不满足④，故不“非零可表”；
（2），当时，，
则，所以，，
故，，
又，所以，，
时，，，
所以，满足①②，
，，显然满足要求，
当时，
，
显然，，综上，满足③，
假设存在，使得，
则，，
其中
，
即，显然矛盾，故不存在，使得，满足④，
综上，数列“非零可表”；
（3），定义为小于等于的最大整数，
取数列：，，其中为的前项和，
显然是严格递增的正整数列，满足①②，
，，
假设对，都有，
则，
，
故，
下面证明满足③④，
若存在正整数以及，，…，，有，
故，
所以满足④，
若整数，不妨设，则由，取，
则有，
取，则有，③成立，
综上，构造的数列：，，其中为的前项和，“非零可表”.

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