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2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期
学科素养数学试卷2
2025.3
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．已知全集，，则________．
2．设，函数是奇函数．若，，则________．
3．设．若向量与向量平行，则________．
4．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________．
5．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________．
6．已知向量、满足，且在上的数量投影为，则________．
7．某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布（115，）．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是________．
8．顶点为S的圆锥的母线长为60cm，底面半径为25cm，A，B是底面圆周上的两点，O为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长为________cm．（精确到0.1cm）
9．如果关于x的不等式，的解为一切实数，那么a的取值范围是________．
10．双曲线的右焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为________．
11．若，已知数列中，首项，，，则________．
12．已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或4点”，则事件A与事件B的关系为（ ）
A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
14．某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）
A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95
D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
15．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n，都存在唯一的正整数m，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题：
A．若为等差数列，则为内和数列；
B．若为等比数列，则为内和数列；
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列；
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的值．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图所示，，且四边形ACEF为矩形，在四边形ABCD中，，．
（1）证明：；
（2）若，直线BF与平面ACEF所成角的正弦值为，求二面角F-BD-G的余弦值．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）去年，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在[25，85]之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
（1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）县委宣传部从年龄在[35，45）和[65，75）的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[35，45）的人数是X，求变量X的分布列和数学期望．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，点M在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹F的方程；
（2）过点的直线与F交于A、B两点．记直线MA、MB的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）若直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A、B的点，且平分∠ANB，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知，．分别判断区间[0，2]和区间[1，3]是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知且，若区间[0，m]是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围；
（3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期
学科素养数学试卷2
2025.3
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．【答案】{-1}
【解析】∵，∴．
2．【答案】ln2
【解析】因为函数是奇函数，所以，
因为，，所以．
3．【答案】-2
【解析】由已知条件得：，所以，，
所以，解得：，，所以．
4．【答案】2π
【解析】：，，当时，，即当时，气球体积的瞬时变化率为2π．
5．【答案】45
【解析】第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得，则，
令，解得，故所求的常数项为．
6．【答案】
【解析】在上的数量投影为，则，，则，解得，，则．
7．【答案】
【解析】学生成绩X服从正态分布（115，）．，
则，
故，
从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，
设选中的学生的成绩高于125的人数为Y，由题意可知，，
故至少有2名学生的成绩高于125的概率是：．
8．【答案】45.9
【解析】如图，沿母线SA剪开圆锥侧面并展开成扇形，点B在上的点处，
在展开图中，长为，
在等腰三角形中，，
由余弦定理，得，
所以，
即点A到点B的最短路线长为45.9（cm）．
9．【答案】
【解析】利用绝对值的几何意义，当时，满足题意；
当时，就不满足题意，
同理分析，，就不满足题意；，比如，就不满足题意；时，比如，就不满足题意．
10．【答案】
【解析】设左焦点，因为周长为，
由于P在双曲线的左支上，所以，
所以周长
当且仅当，P，A三点共线时周长最小，
所以由题意可得，所以，
所以离心率．
11．【答案】158
【解析】已知数列中，，①
则，②
由②-①可得：，
整理得，
即是常数数列，
又，所以，则，
又，
又，所以，
所以，
所以．
12．【答案】-3
【解析】，
又，
则，
则，
设D为BC中点，则有，
∴，
由可得，
∴，
，
由，故，
故．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．【答案】A
【解析】根据题意，事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或4点”，
则事件，，所以，
所以，，，
所以，
所以事件A与事件B是相互独立事件，事件A、B可以同时发生，不是互斥事件．
故选：A．
14．【答案】C
【解析】A项，观察茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，A项正确；B项，讲座前的答卷得分分布在50～90之间，讲座后得分分布在80～100之间，因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，B项正确；
C项，讲座前答卷得分按照从小到大排列依次为：
50，55，60，60，65，70，70，75，80，90，其中
则第80百分位数为，C项错误；
D项，讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，D正确．
故选：C．
15．【答案】B
【解析】由题意可得，所以，
化简得，表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，
表示圆上的点（a，b）与点（-2，0）连线的斜率，
设为k，则过点（-2，0），斜率为k的直线为，即，
由直线与圆有交点，得，解得，
所以的最大值为．
故选：B．
16．【答案】C
【解析】对于A，B：例如，可知即为等差数列也为等比数列，
则，但不存在，使得，
所以不为内和数列，故命题A，B错误；
对于C：因为，
对任意，，可知存在，
使得，，
则，
所以，且内和数列为递增数列，可知，
所以其伴随数列为递增数列，故命题C正确；
对于命题D：例如2，1，3，4，5，…，
显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，但不是递增数列，故命题D错误．
故选：C．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【答案】（1）π，；（2）
【解析】（1）∵，，
∴
，
∴函数的最小正周期，
当时，即时，单调增，
∴函数的单调递增区间为．
（2）由题意，，
得：，∴．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，∴，
∵，，
又∵，∴，
又∵，∴．
（2）由（1）可知，
则∠CFB为直线FB与平面ACEF所成的角，
令，则，，，
在Rt△CFB中，，
∴，即，
以点C为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（0，3，0），D（，，0），F（，0，），E（0，0，），
由，得，
∴，，，
令平面BDF的法向量为，
则，则，则，
令，则，，则，
令平面BDG的法向量为，
则，则，则，
令，则，，则，
由已知可知二面角F-BD-G为锐二面角，令其大小为θ，
则，
故二面角F-BD-G的余弦值为．
19．【答案】（1）60，180；（2）1
【解析】（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为，
．
（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在[35，45）内有2人，在[65，75）内有4人，
故X可能的取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的数学期望为．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【答案】（1）；（2）（ⅰ）为定值0；（ⅱ）
【解析】（1）因为，
所以，
即点E的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设方程为，
则，解得，
故点E的轨迹F的方程为．
（2）（ⅰ）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，
①当直线斜率存在时，如图1，
设，
联立，化简得，显然恒成立，
所以，，
则，
，
又M（4，0），所以，，
所以，
又
，
所以，即为定值．
②当直线斜率不存在时，直线垂直于x轴，如图2，
显然，可得：即，
综上所述：为定值．
（ⅱ）由题，，
所以，
由（ⅰ）可知：，
设，即，
则，可得，
又，所以，
所以，则，
又直线的斜率存在，所以，所以，
综上：．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【答案】（1）是，不是；（2）（0，3）；（3）见解析
【解析】（1）由，
当时，，所以区间[0，2]是函数的“美好区间”
当时，，不是[0，2]的子集，
所以区间[1，3]不是函数的“美好区间”．
（2）记，
若区间[0，m]是函数的一个“美好区间”，则或
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：（-∞，-1），（3，＋∞）；
当时，，则的单调递增区间为：（-1，3），
且，，，得到在[0，＋∞）的大致图像如下：
（ⅰ）当时，在区间[0，3]上单调递减，在（3，m]上单调递增，且，此时
因为，则要使区间[0，m]是函数的一个“美好区间”，则，即，
构造函数，
则，
由于，所以恒成立，则在区间[m，＋∞）上单调递增，
所以，则，不满足题意，
故当时，区间[0，m]不是函数的一个“美好区间”；
（ⅱ）当，在区间[0，m]上单调递减，在（3，m]上单调递增，此时
所以，，
则当时，区间[0，m]不是函数的一个“美好区间”；
（ⅲ）当时，在区间[0，3]上单调递减，在（3，m]上单调递增，且，此时
所以，
则当时，区间[0，m]不是函数的一个“美好区间”；
（ⅳ）当时，在区间[0，m]上单调递减，且
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间[0，m]是函数的一个“美好区间”．
综上，实数m的取值范围是（0，3）．
（3）证明：对于任意区间，记，
因为对于任意，都有
所以在区间I上单调递减，故
因为，即S的长度大于Ⅰ的长度，故不满足性质①，
所以若I为的“美好区间”必满足性质②，即，
即只需要或，
由显然不恒成立，所以存在常数c使得
如果，取，则区间满足性质②；
如果，取，则区间满足性质②；
综上，函数一定存在“美好区间”；
记，则的图象连续不断，下证明有零点，
由于在R上单调递减，则在R上是减函数，记
若，则是的零点；
若，则，记，，
由零点存在定理，可知存在，使得；
若，则，记，，
由零点存在定理，可知存在，使得；
综上，有零点，即，
因为所有“美好区间”I都满足性质②，故，否则与性质②矛盾；
即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕．

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