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安徽省淮北、淮南市2025届高三下学期第二次质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
5．函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数和的定义域均为为偶函数，为奇函数，若，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
8．在中，记，则（ ）
A．存在，使
B．存在，使
C．的最小值为
D．的最大值为
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间内，则（ ）
A．图中的值为0.005
B．这组数据的平均数为73
C．这组数据的众数为75
D．这组数据的中位数约为71.7
10．设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．一定不是等差数列
C．若为等比数列，则公比为2
D．若，则为等比数列
11．甲乙两名玩家轮流从装有个小球的容器中取球，每次至少取一个，先取球者第一次不能将球取完，之后双方每次取球数不超过对手上一轮取球数的2倍，取得最后一个球的玩家获胜.若甲先取，乙有必胜的策略，则可以是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．13
三、填空题（本大题共3小题）
12．若实数和的等差中项为1，则的最小值为 .
13．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 .
14．如图，圆锥有且仅有一条母线在平面内，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则圆锥外接球的表面积为 ；若是中点，，且点到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的余弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的内角的对边分别为
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
16．四棱锥中，平面，
(1)求；
(2)求证：；
(3)求与平面所成角的正弦值.
17．已知函数
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)求证：当时，有且仅有一个零点.
18．已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为
(1)求双曲线的方程；
(2)点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标.
19．在组合数学、表示论和数学物理中，“数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗 狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“数”：，其中，.利用“数”可以进一步定义两个概念：“阶乘”：，且，“组合数”
(1)计算和的值；
(2)证明：对任意；
(3)证明：对任意.
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于不等式，解得，即集合.
所以或. 集合，可得.
故选C.
2．【答案】A
【详解】设，则，
所以，
由，所以，故，
所以，
故选A.
3．【答案】D
【详解】由可得，解得，则，
由可得，解得.
故选D
4．【答案】C
【详解】在抛物线中，焦点坐标为. 因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以椭圆的焦点在轴上，且（为椭圆的半焦距）.
在椭圆中， ，又因为，所以.
而在椭圆中，，所以.
椭圆的长轴长为.
故选C.
5．【答案】B
【详解】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为，
于是，当时，，
而此时，因此，
又，
函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，
，因此，
所以.
故选B.
6．【答案】B
【详解】从甲箱中随机取一个球，甲箱中有个红球和个白球，
那么从甲箱中取出红球的概率；取出白球的概率.
若从甲箱中取出一个红球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球.
从个球中取出个球的组合数为种.
从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种.
所以在从甲箱取出红球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率.
若从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球.
从个球中取出个球的组合数为种.
从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种.
所以在从甲箱取出白球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率.
由全概率公式可得，取出的两球颜色相同的概率为：
.
故选B.
7．【答案】A
【详解】因为为偶函数，故，
所以的图象关于对称，因此.
因为为奇函数，故，
整理得，
当时，，
当时，，
由得，，
当时，由得 ，
所以，即，
因为
所以解得，所以.
故选A.
8．【答案】D
【详解】由题意可得，
，
，
则，故AB错误；
若，则
因，则，则，得，
则，故C错误；
，即，
则方程在上存在根，
则，即，
等号成立时，
因，则，则，
此时变为，
得，则，
故当时，取最大值，故D正确.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，由频率分布图可知：，解得，故A正确；
对于B，由频率分布图可知：，故B正确；
对于C，由频率分布图可知众数为65，故C错误；
对于D，设这组数据的中位数约为，因为，,
所以中位数在区间内，则，解得，故D正确；
故选ABD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，，当时，，故A正确；
对于B，假设是等差数列，设公差为，
则，
由得，
即，
根据多项式相等可得，方程组无解，
所以一定不是等差数列，故B正确；
对于C，若为等比数列，由两式相减得，
即，由得，解得，故C错误；
对于D，若，则，，
当时，，所以，
当时，，
两式相减可得，即，
所以数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
偶数项是以首项为公比的等比数列，又，
所以数列为等比数列，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】设是斐波那契数列：，
现证明以下结论成立：若，则后取者乙有必胜策略.
当时，甲只能取1个球，故乙必胜；当时，若甲取1个球，乙可直接取2个球后获胜；若甲取2个球，乙可直接取1个球后获胜，故乙必胜.故结论成立.
设和时结论成立，那么时，若甲取的球数，则剩下的球数为，故乙只要将剩下的个球全部取走而获胜；
若甲取的球数，注意到，故不失一般性可以假设一开始个球分成两堆，其中一堆个球，另一堆有个球，而甲从有个球的一堆中取走了r个球，于是由归纳假设，乙有策略保证自己取到有个球的那堆中的最后一个球，而剩下有个球的那一堆，并由归纳假设知乙可使自己最后一次取球的个数不大于，这时无论甲取多少根火柴（至多为不可能将个球取完），由归纳假设知乙有必胜策略，保证自己取到最后一个球，且乙最后一个所取球的个数，故若，则后取者乙有必胜策略.
选项中，，故当n为5，8，13时，乙有必胜的策略.
故选BCD.
12．【答案】2
【详解】若实数和的等差中项为1，则，
，即，
即，当且仅当取等号.
故 的最小值为2.
13．【答案】
【详解】由题可知，由椭圆的定义知：，，
所以，又因为，
所以，
，所以，
解得：，，
所以在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
所以，可得：，即，
所以，因为，
所以.

14．【答案】
【详解】设圆锥的母线长，底面半径，
因为圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，
所以，，解得，
所以中，
设圆锥外接圆的圆心为G，半径为R，
由圆锥外接圆的性质可知，点G在线段上，
在中，，即，解得，
故圆锥外接球的表面积为.
在平面内过点P作直线，取中点M，连接，
则，且，
因为顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，
所以平面平面,
又平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
过作垂线，分别交，于点和，
连接，，即,
又,平面，
所以平面,
又平面，所以，即到的距离为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
在中，，
在中，
设与圆锥底面所成角为，则，
则,即与圆锥底面所成角的余弦值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
因为,
所以，
即，
所以，
所以.
（2）因为三角形的面积为，
所以，所以，
由余弦定理知，即，
所以，
故，
所以三角形的周长为.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）分别在和中使用余弦定理得：
即，
得，所以；
（2）因为，
由余弦定理可得：，
所以，从而，所以.
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（3）方法一：设三棱锥的体积为和的面积分列为，
点到平面的距离为，因为，所以
因为平面，平面，
所以，，所以，
所以，
且，由得
所以与平面所成角的正弦值为.
方法二：因为平面，以为坐标原点，
分別以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以可取，
设与平面所成角为的，
所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）若，则，
所以，函数在处的切线方程为；
（2）的定义域为，
当时有且仅有一个零点4：
当时，，函数递增，由，知存在唯一零点；
当时，令得，
当时，函数递增：
当时，函数递减；
当时，函数递增：
当时，，所以，函数无零点；
因为当时递减，当时递增，
且，所以存在唯一零点.
综上所述，当时，有且仅有一个零点.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，解得，
又，解得，于是的方程为：.
（2）（方法1）设，显然，
设直线，与0联立，消去得，则，
又在直线上，得，代入上式得
于是，即，
整理得，解得，进而，
即所求点坐标为.
（方法2）设，显然直线的斜率存在，其方程为：
，令，解得
依题意
将（1）代入上式，消去得
.
整理得，即
由知联立，解得.
即所求点坐标为.

19．【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，
.
（2）因为
，
所以，即.
（3）由（2）知，
所以
将上述个等式左右两边分别相加得
.

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