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山东省齐鲁名校教研共同体2024 2025学年高三下学期第六次联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则=（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
3．已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．8
5．现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ）
A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分
B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分
C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分
D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线轴
C．若，则 D．若，则
11．已知函数，为常数，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．在，上单调递增
D．若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为 ．
13．已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ．
14．已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．下表是2020—2024年中国出生人口数y（单位：十万人）的数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
出生人口数y/十万人 120 106 96 90 95
(1)求2020—2024年中国每年出生人口数的平均数；
(2)某研究人员建立了y关于x的回归模型，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万；
(3)求（2）中回归模型的决定系数，并评价其拟合效果．（如果，就认为拟合效果好，如果，就认为拟合效果一般，如果，就认为拟合效果差）
附：，．
16．如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
17．如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥体积的最大值；
(3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知，函数．
(1)若，，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求的单调区间；
(3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围．
19．已知椭圆C：经过点．
(1)求C的离心率．
(2)设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．
①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点；
②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有0，1，e．
故.
故选A.
2．【答案】B
【详解】由题意可得，故．
故选B．
3．【答案】B
【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根，
所以，即，所以.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由可得，即，故，
由，可得，
当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8.
故选D.
5．【答案】D
【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则．
设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则．
所求即为．
故选D.
6．【答案】B
【详解】已知，则，
即，解得，
因为，故，
故．
故选B．
7．【答案】C
【详解】设答对题的个数为，由已知可得，
所以，，
因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以当时，取最大值，最大值为.
故选C.
8．【答案】D
【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点，
建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则，
因为是锐角三角形，所以，
则|，，，
由，得，
整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为，
离心率为，
故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分．
故选D.
9．【答案】CD
【详解】当为正偶数时，，则，
因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立，
则，解得，
当为正奇数时，，则，
因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立，
则，解得，
所以的取值范围是，故的可能取值为，．
故选CD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误．
对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确．
对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确．
对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确．
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】
，
易得的最小正周期为，故A正确；
当时，，其值域为，故B错误；
令，得，
故在上单调递增，故C正确；
当时，，
此时；
当时，，此时；
当时，，
因函数的图象均与曲线总有公共点，
则且，
当时，，此时；
当时，，此时，
故，
综上所述，，故D正确.
故选ACD．
12．【答案】
【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为，
球的表面积为，所以，
即，解得（负值舍去），
故圆锥的底面直径与母线长的比值为．
13．【答案】
【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中，
用去代换x，得，
∴，，∵，
∴由，可得，
令，则在上单调递增．
若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意；
若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下，
则需，即；若，则在上单调递增，符合题意．
综上，．
14．【答案】3
【详解】不妨设，，，三个圆心分别为，，，
根据勾股定理得，，
所以，因为点P在圆上，
故可设点，其中，
则，整理得，即，解得．
15．【答案】(1)
(2)2028年
(3)，这个模型的拟合效果一般
【详解】（1）．
（2）中国出生人口数低于700万，即．
，解得：,,
当时，，
当时，，
对应2028年，即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万．
（3）当，，，
当，，，
当，，，
当，，，
当，，，
所以
因为，所以这个模型的拟合效果一般．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，且，
所以，可得，
即，所以．
（2）解：因为，，，
所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知四边形存在外接圆，
故，
而，即，
所以，故，
由平面，平面，可得，
而，平面，平面，
故平面，
又因为平面，故平面平面．
（2）如图，过点作，垂足为，
由（1）平面平面，又平面平面，平面，
所以平面．
设四边形的面积为，
则四棱锥的体积，
因为，，所以，
因为平面，平面，
所以，则点P在以AB为直径的圆上，
当时，PH最大，最大值为．
因为，所以点在以为直径的圆上，且，
当时，最大，最大值为，此时底面ABCD是正方形．
所以四棱锥体积的最大值为．
（3）以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图．
由（2）可知，，，．
所以，，．
设平面PBD的法向量为，
则，
取，则，
所以为平面PBD的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为和
(3)
【详解】（1）若，，则，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题易知，所以．
令，得，
当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的单调递增区间为，单调递减区间为和．
（3）若，则，仅有1个零点，符合题意．
若，由至多有2个零点，可知至多有1个极值点，
则至多有1个变号零点．
由，可得．
设，则，
可得在上单调递减，在和上单调递增，
所以的极大值为，极小值为，
且当时，，当时，，作出的大致图象如下：
根据题意，直线与的图象至多有1个交点（切点除外），
所以或，解得或．
综上，a的取值范围是．
19．【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）因为椭圆C经过点，所以，故，
所以C的离心率.
（2）①由（1）知C的方程为，，.
由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为．
由，可得，
所以，即，
且，．所以．
则
，
解得，则的方程为，
即直线过x轴上的定点.
②由①可知，，又，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，.
当n为偶数时，，
所以.
当为奇数时，因为，
所以.
综上可得：.

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