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1.3 复数（精讲）
考向一 复数的实部与虚部
【例1-1】（24-25高三上·山东济南·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2025·天津和平·一模）为虚数单位，复数的实部为 .
【一隅三反】
1.（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
2.（2025·河南·三模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·湖南·模拟预测）已知复数，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
考向二 复数的分类
【例2-1】（2025·贵州铜仁·三模）若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数
C．若，则是实数 D．若，则
【一隅三反】
1.（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ）
A．或 B． C． D．
2.（2024·山西运城）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A． B．4 C．2 D．
3.（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数
C．对于任意的复数都是实数 D．
考向三 复数对应的象限
【例3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1.（2025·湖北武汉·一模）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.（2025·四川·模拟预测）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线上 D．直线上
考向四 复数的模长
【例4-1】（2025·安徽黄山·二模）设复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【例4-2】（2025·江苏南通·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【一隅三反】
1.（2025·江西南昌·二模）已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
考向五 复数范围内解方程
【例5-1】（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例5-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（2025·河北·模拟预测）若复数是方程的两个不同的根，则（ ）
A． B． C． D．9
2.（24-25云南）（多选）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
A．复数对应的点在第四项象限 B．
C． D．
3．（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
考向六 复数相关的轨迹问题
【例6-1】（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆
【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
3．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则的最大值为6
B．若，则点的轨迹为椭圆
C．若，则点的轨迹为椭圆
D．若，则点轨迹的长度为
考向七 复数模长轨迹相关的最值问题
【例7-1】（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例7-3】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
3.（2025·吉林·三模）已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
考向八 复数的运算及性质
【例8-1】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数，，则（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【一隅三反】
1．（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数 B．
C．若，则 D．
2（2025·河南·一模）（多选）已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
3．（2025·浙江金华·二模）（多选）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
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1.3 复数（精讲）
考向一 复数的实部与虚部
【例1-1】（24-25高三上·山东济南·期中）已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
可得，所以的虚部是，故选:A.
【例1-2】（2025·天津和平·一模）为虚数单位，复数的实部为 .
【答案】2
【解析】,所以复数的实部为2.故答案为：2.
【一隅三反】
1.（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由，解得，所以．所以的虚部为1．故选：C．
2.（2025·河南·三模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，其的虚部为.故选：A.
3.（2024·湖南·模拟预测）已知复数，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】因为，所以复数的实部与虚部之和，故选:B.
考向二 复数的分类
【例2-1】（2025·贵州铜仁·三模）若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】已知是纯虚数，
则实部，解得，且虚部，经检验满足，故选：D
【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数
C．若，则是实数 D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，B，设，则，
若为实数，则，但这不一定能得到，比如，
这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误；
若为虚数，则，这一定能得到，此时是虚数，故B正确；
对于C，D，设，
若，这表明，
所以是实数，故C正确；
若，
这表明，
但不一定等于0，
比如，这个时候有，
但，故D错误.
故选：BC.
【一隅三反】
1.（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为复数（）是纯虚数，所以，
由，得或，由，得，.故选：D.
2.（2024·山西运城）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】，
要使为实数，需满足，所以.故选：B.
3.（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数
C．对于任意的复数都是实数 D．
【答案】BCD
【解析】设，
选项A，若，则，不一定是实数，A错；
选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确；
选项C，是实数，C正确；
选项D，设，则
，D正确；
故选：BCD．
考向三 复数对应的象限
【例3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
所以该复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故选：A.
【例3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，所以，
故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件.
故选：A.
【一隅三反】
1.（2025·湖北武汉·一模）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
2.（2025·四川·模拟预测）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线上 D．直线上
【答案】C
【解析】因为，所以
所以复数所对应的点坐标为，位于直线上.故选：C.
考向四 复数的模长
【例4-1】（2025·安徽黄山·二模）设复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】由题设，则.故选：A
【例4-2】（2025·江苏南通·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由，所以，又，故选：C
【一隅三反】
1.（2025·江西南昌·二模）已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【解析】已知，即．则．可得．故选：C．
2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则，
所以.故选：A
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
则，所以，故A正确.故选：A
考向五 复数范围内解方程
【例5-1】（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】将代入可得，
化简可得，
故且，解得，，
故选：C
【例5-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，根据韦达定理知，故A错误；
对B，根据韦达定理知，故B正确；
对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确；
对D，因为，则，故D正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1.（2025·河北·模拟预测）若复数是方程的两个不同的根，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】设.则，
因为，所以解得或
不妨设，
则.
故选：A.
2.（24-25云南）（多选）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
A．复数对应的点在第四项象限 B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确；
已知，关于的方程的一个根是，
则，整理得，
所以，；解得：，所以，，故B正确；
由得方程，又知道一个根是，
所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确；
两个虚数不能比较大小，故D错误；
故选：ABC．
3．（2025·广东湛江·一模）（多选）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】依题意得，复数，是方程的两个根，
可得，
解得，则，，
所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：ABD．
考向六 复数相关的轨迹问题
【例6-1】（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】z在复平面内对应的点为，则，
由，得，
化简得.
故选：A.
【例6-2】（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由，则，
则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，
故复数所对应的点组成的图形的周长为.故选：D.
【例6-3】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆
【答案】ABD
【解析】依题意，，
对于A，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，表示点与点的距离为1，其轨迹是以点为圆心1为半径的圆，
则点Z的轨迹的长度为，C错误；
对于D，表示点与定点的距离和为4（大于两定点间距离）
则点Z的轨迹为椭圆，D正确.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆，
所以面积为.
故选：B.
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】设，则复数在复平面内对应点，设，
则，同理，
∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，
∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，
A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；
D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误.
故选：ABC.
3．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则的最大值为6
B．若，则点的轨迹为椭圆
C．若，则点的轨迹为椭圆
D．若，则点轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】在复平面内，设点，复数所对应点，
对于A，两点的距离表示两点的距离，又，
则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示两点的距离，
则的最大值为，A正确；
对于B，表示两点的距离，表示两点的距离，
由，则点的轨迹为线段，B错误；
对于C，，则点的轨迹是以为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确；
对于D，，即或，由表示以为圆心，1为半径的圆，
同理表示以为圆心，2为半径的圆，点轨迹的长度为，D正确.
故选：ACD
考向七 复数模长轨迹相关的最值问题
【例7-1】（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】设，因此，，
当且仅当时取“”，所以的最大值为.
故选：B．
【例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设，若满足，即，
所以，即，
则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，
又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为，
故选： C．
【例7-3】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，整理得，
故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．
又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，
如图，直线与单位圆分别切于点，，
因为和都为锐角，
所以，
所以，即的最大值为．
故选：B
【一隅三反】
1．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则复数在复平面上的对应点为，
因为，所以，故，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，所以点到原点的最大距离为，
所以的最大值为.故选：B．
2（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
【答案】
【解析】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为.
故答案为：
3.（2025·吉林·三模）已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，由得，
∴，整理得，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线.
设，则，
由得，，即，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为，
∴的最小值为.
故答案为：.
考向八 复数的运算及性质
【例8-1】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数，，则（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A、D：当时，，但，故A错误；
又，故D错误；
对于B：由，可得，故B正确；
对于C：设，且，
由，可得，则，
若，则或；若，则，
当，则，
当，则，
当，，则，
综上，，故D正确.
故选：BC.
【一隅三反】
1．（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数 B．
C．若，则 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
2（2025·河南·一模）（多选）已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
【答案】AD
【解析】对于A，设，当时，，
得，得，即，故A正确；
对于B，令，可知，故B错误；
对于C，令，
可知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD
3．（2025·浙江金华·二模）（多选）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】设，则，
A选项，，所以A选项正确.
B选项，，所以B选项正确.
C选项，，，
所以C选项正确.
D选项，设，则，
则，所以D选项错误.
故选：ABC
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