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山东省日照市2024 2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
5．如图，已知同一平面上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．180种
7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知样本空间，其中每个样本点出现的可能性相等，事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C相互独立
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是π
C．的值域为 D．在上单调递增
11．在三棱锥中，是边长为的正三角形，，P为其表面上一点，记点与四个顶点的距离分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．该三棱锥的外接球的表面积为
B．若，，则点P存在且唯一
C．若，则的最小值为
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ．
14．定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角的对边分别为，已知
(1)求；
(2)设的中点为，若，求的面积．
16．如图，在三棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
17．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由．
19．设，数对按照如下方式生成：①规定；②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，，；当硬币反面朝上时，，
(1)写出数对的所有可能结果；
(2)当时，记的概率为．
（ⅰ）求及的最大值；
（ⅱ）设的数学期望为，求．
参考答案
1．【答案】A
【详解】易知，解之得，即，
所以.
故选A
2．【答案】D
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为函数在单调递增，
所以等价于，
所以“”是“”的充要条件.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由题设，
所以
.
故选C.
5．【答案】C
【详解】设，依题意，，
因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且，
由，可得，
由，
又，
故可得：，
即，因，
则，即，
由，可得，整理得：，
因，故得，即；
由，可得，整理得：.
综上分析，可得.
故选C.
6．【答案】A
【详解】先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有种，
再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有种，
剩下的1名志愿者参加审计项目，
所以共有种分配方案.
故选A.
7．【答案】D
【详解】因为函数，
当时，单调递增，所以值域为：，
要使得分段函数的值域为R，
则当时，的取值包含的每一个取值，
所以，解得，
故选D.
8．【答案】B
【详解】由题设，数列各项依次为，
当时，，
当时，，
所以成立的n的最小值为21.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】由，即不是互斥事件，A错；
由，则且，故，B对；
由，则，且，显然，C错；
由，则，故，D对.
故选BD.
10．【答案】AC
【详解】函数的定义域为R，且，
所以是偶函数，A对；
在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
函数部分图象如下(注意偶函数的对称性)，

由图知，所以的最小正周期为，值域为，B错、C对；
由且，结合图知在上不单调，D错.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】

由，△ABC是边长为的正三角形，
结合勾股定理易知两两垂直，
所以该三棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，易知球的直径为，
所以外接球的表面积为，A正确；
因，则为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图，

有两个点，故B错误；
对于C：取的中点，易得,
设点在面上，，
故点在以为焦点，2为长轴长的椭圆上，.
而，故点在椭圆外，
在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点都，
由于点必须是三棱锥的表面上的一点，所以点的轨迹是上述椭球面与该三棱锥的表面的截线.
而，故点在椭球面内，
因为，所以也在椭球面外，
因此线段与椭球面必有2个不同交点，
两点中的任意一点到的距离之和都等于，
根据两点之间线段距离最短，其余的点到的距离之和都大于，
故的最小值为，故C正确；
如图建立空间直角坐标系，则，
设，则.
①若点在坐标平面上，由对称性，不妨设平面，则，，此时，
当且仅当时取等号；

②若点平面，平面的法向量为，
由得，且，消去整理得
因，
则，
当且仅当时取等号.
综上，，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】试题分析：或，．
13．【答案】8
【详解】
如图，设以为直径的圆的圆心为，，
因为两圆内切，所以，
又为的中位线，所以，
所以，
所以的轨迹为以，为焦点的椭圆，
，，
显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，
最大值为.
14．【答案】
【详解】因为，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，所以在上恒成立，
所以，则在上单调递增，
设，所以，
若函数在区间上满足K-条件
因此对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
则对任意恒成立，
令，所以在上单调递减，
在恒成立，所以，
又因为在上单调递减，.
所以，所以K的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为的内角的对边分别为， ，
所以由正弦定理边化角可得①，
又因为中，所以②，
将②式代入①式可得，
因为，，
所以，即，
因为，所以，.
（2）因为为中点，，
所以③，
④，
③④联立解得，，
所以，的面积.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在中，，，则，
所以，则，
由，都在面内，则面，
又面，所以面面；
（2）由（1）及，即两两垂直，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示，
设，由（1），则，
所以，
若是面的一个法向量，则，取，则，
设直线与面所成角为，则，
所以，则，
在中，则，
若是面的一个法向量，则，取，则，
设面与面所成角为，则.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，的定义域为，
所以，，
又因为，所以切点为，
所以曲线在点处的切线方程为：，
化简可得：.
（2）令，
函数的定义域为，
．
①当时，，函数在区间上单调递减，
函数至多一个零点，不合题意；
②当时，设函数，，
当时，，即对任意的恒成立，即，
所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，因为，所以方程有两个实数根、，
且满足，，
不妨设，则，、的情况如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是．
因为，所以为的一个零点．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
所以函数有个不同的零点，方程有3个不同的实数解，
综上，的取值范围为．
18．【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）存在，4条.
【详解】（1）当直线轴时，则点在抛物线上，故，
所以抛物线方程为；
（2）（i）由题设，直线的斜率存在且不为0，设，则斜率，
若，，联立，得，
所以，，
由，则，故点处切线斜率为，
所以对应切线方程为，
令，故，
由，令，则，故，
所以，
所以，即，所以；
（ii）连接，由（i）得，，则，
又，所以轴，即四边形为平行四边形，
所以
，
若四边形的面积为，则，整理得，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以使，
在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，
而，，存在使，
所以在上有两个零点，为和，即在上有2个不同根，
由对称性，四边形的面积为的直线共有4条.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)①，最大值为；②.
【详解】（1）当抛郑两次硬币结果为（正，正）时，；
当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，；
当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，；
当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，．
（2）易知当时，；当时，；
由题知，，当，即时，
若掷出反面，则，此时；
当，即时，若掷出正面，则，此时；
当时，无论抛出正面还是反面，，
所以，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以．
当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以，的最大值为．
②显然，．
由题分析得，与的概率相等，均设为，
则由①知，，
若，当下次投掷硬币为正面朝上时，；
当下次投郑硬币为反面朝上时，；
若，当下次投掷硬币为正面朝上时，；
当下次投郑硬币为反面朝上时，；
若，当下次投掷硬币为正面朝上时，；
当下次投郑硬币为反面朝上时，．
所以当时，概率为，此时期望不变；
当时，概率为，此时期望加1；
所以．
故
经检验，当时也成立．.

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