资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 复数（精练题组版）
题组一 复数的实部与虚部
1.（2024山东）已知复数的实部为3，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
2.（2025·广东广州·一模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
3.（2025·吉林长春·模拟预测）复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·河南·三模）若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·广西桂林·二模）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
6.（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ．
题组二 复数的分类
1.（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数为纯虚数，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·一模）若为纯虚数，则复数可以为（ ）
A． B． C． D．
题组三 复数对应的象限
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·辽宁锦州·二模）在复平面内，复数对应的点在第二象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·贵州·二模）已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
题组四 复数的模长
1.（2025·福建福州·三模）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2025·陕西渭南·二模）若，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
3．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．
4.（2025·辽宁鞍山·二模）已知复数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
5（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2025·湖南·模拟预测）设为虚数单位，则（ ）
A．5 B． C． D．
7（2025·广东深圳·三模）已知复数满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
8（2025·辽宁·三模）已知为虚数单位，，则（ ）
A． B． C． D．
题组五 复数范围内解方程
1．（2025·重庆·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则（ ）
A．25 B．5 C． D．41
3．（2025高三·全国·专题练习）已知复数是方程的一个根，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
4.（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．也为该方程的根 D．与也为方程的根
5．（24-25高三上·河北秦皇岛·期中）（多选）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ）
A．该方程存在实数根 B．，
C．对应的点在第四象限 D．
6．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选）已知为方程的根，则（ ）
A． B．
C． D．
7（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知是关于的方程的两根，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
8．（24-25高三上·河北邢台·期中）（多选）若复数，是方程的两个根，则（ ）
A．为纯虚数 B．
C． D．
题组六 复数模长相关的轨迹问题
1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·安徽·期中）已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段
4.（2025·广东汕头·一模）（多选）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线
5．（2024·广西·模拟预测）（多选）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上
B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上
D．若，则点Z在抛物线上
题组七 复数模长相关的轨迹最值
1．（24-25上海·开学考试）若复数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
2．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C．7 D．8
4．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 .
6.（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 .
7.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为
题组八 复数的运算及性质
1．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）（多选）在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
2．（2024·江西新余·模拟预测）（多选）已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（ ）.
A． B．
C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 复数（精练题组版）
题组一 复数的实部与虚部
1.（2024山东）已知复数的实部为3，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】B
【解析】由题意得，，则其实部为，解得.故选:B.
2.（2025·广东广州·一模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【解析】因为，所以，所以的虚部为1.故选：B
3.（2025·吉林长春·模拟预测）复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，故复数的虚部为.故选：B
4.（2025·河南·三模）若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，先将等式右边化简，．
则，所以z的虚部是．故选：A
5.（2025·广西桂林·二模）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】，所以的虚部为2，故选：D．
6.（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ．
【答案】/0.5
【解析】，故其虚部为.故答案为：.
题组二 复数的分类
1.（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数为纯虚数，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由题，，又为纯虚数，.故选：A．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，由为纯虚数，得，所以，故，
所以.故选：B.
3．（2025·安徽·一模）若为纯虚数，则复数可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设，则，
所以.
对于A选项，由，可得，解得，合乎题意；
对于B选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意；
对于C选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意；
对于D选项，由，可得，解得，合乎题意.
故选：AD.
题组三 复数对应的象限
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由，得，即，
因此，
所以在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B
2．（2025·辽宁锦州·二模）在复平面内，复数对应的点在第二象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为复数对应的点在第二象限，所以可设，
因为，
所以，
所以，，
所以复数对应的点在第三象限.
故选：.
3．（2025·贵州·二模）已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，
，
故复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
4.（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【解析】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限，则，解得.
故选：C.
题组四 复数的模长
1.（2025·福建福州·三模）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B.
2．（2025·陕西渭南·二模）若，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
故选：A.
3．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】根据复数的运算法则，可得，所以，所以，则.故选：D.
4.（2025·辽宁鞍山·二模）已知复数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】，，．故选：C
5（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由复数对应的向量，则，
所以.故选：A
6.（2025·湖南·模拟预测）设为虚数单位，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】,
故选：B
7（2025·广东深圳·三模）已知复数满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以．
故选：D
8（2025·辽宁·三模）已知为虚数单位，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，则，故.
故选：D
题组五 复数范围内解方程
1．（2025·重庆·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由可得，即，可得，解得.故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则（ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
【解析】因为复数是关于的实系数方程的一个根，
所以，所以，
所以，则．
故选：C．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知复数是方程的一个根，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】∵复数是方程的一个根，
∴，故，，
∴.
故选：A．
4.（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．也为该方程的根 D．与也为方程的根
【答案】D
【解析】由题可得，复数，
又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则，
则，，
则由韦达定理可知，，
所以，故A,B错误；
又，则且，故C错误；
由于，则与为方程的两根，
因为，则与也为方程的根，故D正确.
故选：D．
5．（24-25高三上·河北秦皇岛·期中）（多选）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ）
A．该方程存在实数根 B．，
C．对应的点在第四象限 D．
【答案】BCD
【解析】由是方程的根，得，
整理得，因此，解得，
所以方程为，故B正确；
对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，故A错误；
对于C，D，方程，由韦达定理可知，得，
对应的点为，在第四象限，
，所以，故C，D正确．
故选：BCD．
6．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选）已知为方程的根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】设，
因为为方程的根，且，则，
所以，即，
解得或，
所以，则；
，所以，故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
7（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知是关于的方程的两根，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】关于的二次方程．
当时，，所以，，但不一定成立．
当时，，是方程的两个复数根，仍成立，此时，故A正确，B错误．
若，方程的两根为，所以互为共轭复数，C正确．
若，由于，所以，D正确．
故选：ACD
8．（24-25高三上·河北邢台·期中）（多选）若复数，是方程的两个根，则（ ）
A．为纯虚数 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】方程，，
方程的根为，
即方程的根为，，
不妨设，，
则为纯虚数，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，则，故D正确.
故选：ABD.
题组六 复数模长相关的轨迹问题
1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，故，故选：A
2．（24-25高三上·安徽·期中）已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数是关于的方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，解得，
由，得，因此图形是以点为圆心，4为半径的圆，
所以得周长为.
故选：D
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段
【答案】D
【解析】表示点，故，
，由此可知表示：，在直线上，
又，所以表示一条线段.
故选：D.
4.（2025·广东汕头·一模）（多选）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线
【答案】AD
【解析】根据复数的几何表示知：
对A，方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确；
对B，方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，而与的距离也为2，所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，B错误；
对C，方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误；
对D，方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确．
故选：AD
5．（2024·广西·模拟预测）（多选）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上
B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上
D．若，则点Z在抛物线上
【答案】BD
【解析】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，点在抛物线，故D正确．
故选：BD．
题组七 复数模长相关的轨迹最值
1．（24-25上海·开学考试）若复数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】设，
因为，
则，
即点到和的距离之和为4，且大于2，
所以点在以和为焦点的椭圆上，且，
椭圆方程为，
所以的最小值为.
故选：C.
2．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在复平面内，
表示到点距离为1的所有复数对应的点，
即表示以为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为，
最长距离为，
则的取值范围是.
故选：D.
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【解析】设，，，，
因为，，
所以，，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又表示点与的距离，
所以的最大值是，
故选：D.
4．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，
即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上，
又可以变形为，
即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，
又圆心到直线的距离为，
而，所以满足条件的不存在.
故选：A.
5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 .
【答案】/
【解析】设复数，则，
即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆，
，其表示点到点的距离，
其最大值为到圆心的距离加上半径，即，
故答案为：.
6.（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 .
【答案】/
【解析】已知，则.
因为，所以，
表示复数所对应的点到所对应的点的距离，
说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即.
故答案为：.
7.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为
【答案】7
【解析】如图：
因为复数满足，所以复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上.
又表示点到点的距离.
结合图形可知，当，，三点共线，且，在点两侧时，最大，
此时.
所以.
故答案为：7
题组八 复数的运算及性质
1．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）（多选）在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】设，则，
对于A，当时，，
则，故A错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，当时，，，
满足，但，故C错误；
对于D，当时，，
而，故D错误.
故选：ACD.
2．（2024·江西新余·模拟预测）（多选）已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】已知，设，则，
对于A，若，即，得，即，
所以，有，A选项正确；
对于B，若，则有，得，有，B选项正确；
对于C，若，即，有，得，
其中当时，，C选项错误；
对于D，若，有，即，
若，则得，有；若，则，，有，D选项正确.
故选：ABD.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑