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专题一 集合、常用的逻辑用语及复数专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知“p：”是“q：与表示的曲线有两个不同交点”的（ ）条件.
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是：（ ）．
A． B． C． D．
7．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．关于的不等式的解集为，则
10．（2025·河南·模拟预测）已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
11．（2025·江苏南通·二模）设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ ）
A．集合不是“可拆等和集”
B．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 .
13．（2024·北京昌平·二模）已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是 ．
14．（23-24 浙江绍兴·阶段练习）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分
15．（24-25江苏苏州）已知，．试问：
(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点
(2)从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个
16．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心.
(1)求.
(2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求的面积.
17．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合.
(1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.
18．（2025湖南）对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”．
(1)若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；
19．（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
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专题一 集合、常用的逻辑用语及复数专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，而，
所以.
故选：B
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，.
，，或，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以.
故选：A.
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知“p：”是“q：与表示的曲线有两个不同交点”的（ ）条件.
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵，∴，
联立方程组得，
即方程在时有两个不同的解，
设函数，则，
即，解得，
∴是的必要不充分条件.
故选：A.
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得，
，即，
当，时，，
，
当，时，，
，
综上，.
故选：D.
6．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是：（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】】因为，
，，
所以且，解得：，
故选：C
7．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若的奇函数，则，即恒成立，
所以，则，在上单调递增，
所以在上是减函数，充分性成立；
若在上是减函数，在上单调递增，
所以，故，此时不一定有，必要性不成立；
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
8．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．“”是“”的必要不充分条件
D．关于的不等式的解集为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，“，都有”的否定是“，使得”，故B不正确；
对于C，由，可得，所以，所以，
所以，解得或“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，由题意知和1是关于的方程的两个根，
，解得，，故D正确.
故选：ACD.
10．（2025·河南·模拟预测）已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
【答案】AC
【解析】；
对于A，为纯虚数，，解得：，A正确；
对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：，
即，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，不是定值，D错误.
故选：AC.
11．（2025·江苏南通·二模）设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ ）
A．集合不是“可拆等和集”
B．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
【答案】ABD
【解析】对于A项，构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列，
且.
所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求；
当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求.
综上，集合不是“可拆等和集”，故A正确；
对于B项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得，
此时因集合已含有元素2，故舍去；
若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得
若，则由“可拆等和集”的定义，有.
综上可知：可取，，，，，共6个值，故B正确；
对于C项，将中所有元素同时除以后可得，
根据等比数列前项和公式，可得.
因为，所以，，所以有.
所以，当时，中所有元素之和也小于，
不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足；
当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误；
对于D项，易知集合中的元素个数为，，
根据等差数列的性质可知，，，
共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组.
从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中；
又，则，
而，
不妨将这两个元素也分到集合中，则可满足中的元素之和相等.故D正确.
故选：ABD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 .
【答案】或
【解析】由题意，集合中，可整理成，
所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集.
因为，所以直线与直线平行或有一个交点，
当两直线平行时，；当两直线交点为时，.
故答案为：或.
13．（2024·北京昌平·二模）已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解析式为.
函数的定义域为，所以函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
因为，，所以，
又，在区间内有零点，
所以为假命题.
故答案为：（答案不唯一）.
14．（23-24 浙江绍兴·阶段练习）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】设，由，
则，表示的是圆心为，半径为的圆，
而，表示的是圆上一点到的距离，
如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长，
即最大值为.
故答案为：
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分
15．（24-25江苏苏州）已知，．试问：
(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点
(2)从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，，
所以，，
中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有个，
中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有个，
其中重复的有，
所以不同的点有个；
（2）因为，，
所以，
要满足从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字逐渐减小，
即从个元素中选个元素的组合数，
所以，所以满足要求的三位数有个.
16．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心.
(1)求.
(2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求的面积.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）是的外心，即，
. 只需考虑，即，
又在第一象限，，.
（2）（i），
，
由余弦定理知，两式相加可得，
，是直角三角形.
（ii）设，，则，，
可知，，.
易知AB与复平面的实轴垂直，又，
与复平面的虚轴垂直，，，
又，点A在第一象限，.
，，，，，
的面积为.
17．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合.
(1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知，
解不等式，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集，
所以且等号不同时成立，
解得，即的取值范围是；
（2）因为，所以在上有解，
所以，
令，则，
所以，即的取值范围是.
18．（2025湖南）对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”．
(1)若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；
【答案】(1)不是，是；
(2)充分不必要条件，证明见解析；
【解析】（1）函数，对一切实数不恒成立，
所以函数不是“2阶零和函数”；
取，，，
所以是“2阶零和函数”．
（2）“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件．证明如下：
若为2阶零和函数，则存在常数，使得，，
即，因此，即函数为周期函数；
反之函数为周期函数，
如，对，，为周期函数，
对任意正常数，，
因此函数不是2阶零和函数，
所以“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件．
19．（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）的“相邻元”为：.
（2）因为，所以.
设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”.
设，构造，
则集合中的元素个数为.
对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个，
满足，
从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”.
（3）设，且，且.
①当时，
集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”.
设，则中含有个元素.
设.
则中含有个元素，.并且两两交集为空集，
设，则共有：
②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”.
由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同.
设与不同位置为，即；与不同位置为，即.
当相同时，又中与差为1的只有一个数，则.
当时，，
所以在每一个中，至多有一个“相邻元”.
③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论：
元素中第都是中元素.
中第都是中元素.
故中至少有3个元素属于不同的和.
所以不存在，均是的“相邻元”.
由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故：
是“好数”.
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