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2.1 函数及其表示（精讲）
考向一 具体函数的定义域
【例1】（1）（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为
（2）（2025·陕西）函数的定义域为
【一隅三反】
1.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ．
2.（2025四川乐山·期中）函数的定义域为 ．
3.（2025北京）函数的定义域是 .
4.（2025·上海）函数的定义域为 .
考向二 抽象函数定义域
【例2】（1）（2025广东）设函数，则函数的定义域为
（2）（24-25四川）已知函数的定义域是，则的定义域是
【一隅三反】
1．（23-24辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·江苏）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3（23-24湖北）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考向三 已知定义域求参数
【例3-1】（24-25福建）若的定义域为，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3-2】（24-25贵州）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（24-25山东济宁）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（24-25上海）函数定义域为的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
4．（2025·上海）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
考向四 函数的解析式
【例4】（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)是一次函数，且满足，求的解析式；
(4)已知满足，求的函数解析式.
（5）设函数对任意都满足，试求出．
【一隅三反】
1.（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
（1）已知函数，求函数的解析式．
(2)已知是一次函数，且，求；
(3)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
（4）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
（6）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式
考向五 相等函数的判断
【例5】（24-25天津）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）
A． B．
C． D．和
【一隅三反】
1.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
2（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列函数属于同一函数的是：（ ）.
A．
B．
C．
D．以上均不正确
考向六 分段函数
【例6-1】（2025·上海宝山·二模）已知函数则= .
【例6-2】（2025·广西柳州·三模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（ ）
A．0或 B．0或 C． D．
【一隅三反】
1.（24-25湖南娄底·阶段练习）已知，则等于（ ）
A． B．4 C． D．3
2．（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
3.（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 .
考向七 函数的值域
【例7】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)； (2)； (3)； (4)．（5）
(6)；(7)
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025黑龙江）求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
考向八 已知值域求参数
【例8-1】（23-24广东梅州）已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【例8-2】（23-24云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知且，函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（23-24福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
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2.1 函数及其表示（精讲）
考向一 具体函数的定义域
【例1】（1）（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为
（2）（2025·陕西）函数的定义域为
【答案】（1）（2）且
【解析】（1）由，即，即，解.所以函数的定义域为.
（2）由题意得 ，则函数定义域为 且.故答案为且.
【一隅三反】
1.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】对于函数，有，解得，故函数的定义域为.故答案为：.
2.（2025四川乐山·期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】的定义域满足，解得，故定义域为，故答案为：
3.（2025北京）函数的定义域是 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，则满足：，解得：所以函数的定义域为.
故答案为：
4.（2025·上海）函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由，得，解得.所以函数的定义域为.
故答案为：.
考向二 抽象函数定义域
【例2】（1）（2025广东）设函数，则函数的定义域为
（2）（24-25四川）已知函数的定义域是，则的定义域是
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意得，，解得函数满足，解得，即函数的定义域为.
（2）因为函数的定义域是，所以，
所以的定义域为，又因为，即，所以，所以函数的定义域为.
【一隅三反】
1．（23-24辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又，即，所以，解得.所以函数的定义域为.故选：D.
2.（2025·江苏）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.
3（23-24湖北）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故选：A.
考向三 已知定义域求参数
【例3-1】（24-25福建）若的定义域为，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题得，解得，函数的定义域为，故，.故选：B
【例3-2】（24-25贵州）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意对于恒成立；
当时，显然成立，可得符合题意；
当时，若满足题意可得，解得；
当时，若满足题意可得，此时无解；
综上可得，的取值范围是.故选：C
【一隅三反】
1.（24-25山东济宁）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得在R上恒成立，
若，则，满足要求，
若，则只需，解得，综上，，
由于为的真子集，故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.故选：A
2.（24-25上海）函数定义域为的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，
所以对任意的恒成立，
当时，不等式变形为，解得，不符合题意，
当时，不等式的解集为，
所以，解得，
综上所述：函数的定义域为，则的取值范围；
所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误；
所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误；
所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确；
所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误.
故选：C.
3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
【答案】 2
【解析】函数，故，即函数的定义域为，故.
故答案为：2；
4．（2025·上海）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，
设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，
解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
考向四 函数的解析式
【例4】（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)是一次函数，且满足，求的解析式；
(4)已知满足，求的函数解析式.
（5）设函数对任意都满足，试求出．
【答案】(1)，(2)，
或(4)（5）
【解析】（1）设，，则，，
，.即，.
（2），，.
（3）因为是一次函数，所以设，所以，
又因为，所以，故解得或
所以或.
（4）将代入，得，因此解得.
（5）令代入条件得出，∴．
令代入条件得出，∴．
再令，则有，而用代入条件中得， ①
①中与条件相加得．
∵，．
∴，于是．
令，有，∴，∴或．
当时，，∴．
∵，∴，∴，即为所求．
【一隅三反】
1.（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以．故选：D.
2.（24-25云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，且，代入原式得，
故的解析式为.故选：C.
3.（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
（1）已知函数，求函数的解析式．
(2)已知是一次函数，且，求；
(3)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
（4）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
（6）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式
【答案】(1)(2)或(3)（4）f（x）=
（5）f(x)＝ln x＋1（6）x2－2(|x|≥2)
【解析】（1）由，则；
（2）设，则，
所以，解得或，所以或．
（3）对任意的有，由，①得，②
联立①②解得，．
(4因为函数的定义域为，为偶函数，
所以，即，
又为奇函数，所以，即，
所以，解得.故答案为：
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．
设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1，
（6）f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
考向五 相等函数的判断
【例5】（24-25天津）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）
A． B．
C． D．和
【答案】B
【解析】对于A，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为定义域为，
故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为定义域为,
故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】对于A，易知的定义域为，而的定义域为，
两函数定义域不同，可知A错误；
对于B，显然的定义域为，
而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误；
对于C，两函数定义域均为，但的值域为，
而的值域为，两函数值域不同，即C错误；
对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确.
故选：D
2（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【解析】A中，的定义域为，的定义域为，故A错误；
B中，，B正确；
C中，的定义域为，的定义域为，故C错误；
D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误．
故选：B.
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列函数属于同一函数的是：（ ）.
A．
B．
C．
D．以上均不正确
【答案】C
【解析】A选项，无意义，，故两函数定义域不同，错误；
B选项，的定义域为，的定义域为，错误；
C选项，由解析式可知两函数定义域都是相同，约分后与相同，C正确.
故选：C
考向六 分段函数
【例6-1】（2025·上海宝山·二模）已知函数则= .
【答案】
【解析】由题意可得.故答案为：.
【例6-2】（2025·广西柳州·三模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，则.故选：C.
【例6-3】（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（ ）
A．0或 B．0或 C． D．
【答案】A
【解析】若，即，可得，解得：，符合；
若，即，可得，解得：，符合；综上可知：的值为0或，
故选：A
【一隅三反】
1.（24-25湖南娄底·阶段练习）已知，则等于（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】，故选项C正确.
故选：C.
2．（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】B
【解析】由题意，
.故选：B.
3.（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 .
【答案】2
【解析】由题意知，当时，，解得；
当时，，解得，与矛盾，此时无解.所以.故答案为：2
考向七 函数的值域
【例7】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)； (2)； (3)； (4)．（5）
(6)；(7)
【答案】(1)(2)(3)(4) （5）(6)；(7)
【解析】（1）由，即所求函数的值域为；
（2）由，∵，∴，
即函数的值域为；
（3）由，∴函数的定义域为，，
即，∴，即函数的值域为；
（4）由，得，∴所求函数的值域为．
（5）设，则
当时，的值域为
（6）因为，所以，
令，根据对勾函数的单调性可知在上是严格递增函数，
所以，所以，所以，所以的值域为.
（7）函数，
当时，；
当时，，
若时，，当且仅当即取等号，
则，所以，
若时，，当且仅当即取等号，
则，所以，
综上所述，函数在上的值域是.
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，显然取尽正实数，因此的值域是，A不是；
对于B，，则，即，函数的值域为，B不是；
对于C，的值域为R，因此的值域为，C是；
对于D，由于，则且，即函数的值域为，D不是.
故选：C
2.（2025黑龙江）求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）.
【解析】（1），
∴的值域为.
（2）设（），则原函数可化为.
又∵，∴，故，
∴的值域为.
（3），
∵，∴，
∴函数的值域为.
（4）设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为.
（5），
当时，，当时，，∴，∴函数值域为.
（6）∵恒成立，∴函数的定义域为.
由得： ①
①当，即时，①即，∴，
②当，即时，∵时，方程恒有实根，
∴，∴且，
∴原函数的值域为.
考向八 已知值域求参数
【例8-1】（23-24广东梅州）已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【解析】的对称轴为，则，解得，
则在上单调递增，
所以，即，
所以，为方程的两个根，
即为方程的两个根，所以.
故选：D.
【例8-2】（23-24云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则，解得，
综上，.
故选：C.
【例8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知且，函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，
当时，，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
，易知当时，，
在上的值域为．
在上的值域为当时，的值域必须包含，
，.
故选：C．
【一隅三反】
1．（23-24福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合题意：函数
所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为，
所以，易知：，
由图可知,要使函数的定义域是，值域为，
则的取值范围是，
故选：B.
2．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．
所以或，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
3．（23-24四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的值域为，
所以能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程在实数范围内有解．
所以，解得．
故选：B．
4．（23-24福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意，，又，解得，则；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
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