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2.1 函数及其表示（精练题组版）
题组一 具体函数的定义域
1.（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025浙江丽水）函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（2024河南）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4.（2025湖北）的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5.（2025湖北）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题组二 抽象函数定义域
1.（2025江苏）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2.（2025江西）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（ ）
A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]
3.（2025黑龙江）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ．
5.（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是
6.（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
7.（23-24新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
8.（2025上海）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
题组三 已知定义域求参数
1.（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
2．（24-25云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
3．（24-25安徽）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ．
4（24-25云南）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为
5.（24-25河南）函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
题组四 函数的解析式
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则
2．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ．
3.（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 .
4．（24-25上海浦东新·阶段练习）已知函数满足，则的解析式为 .
5.（2024山东淄博·）求下列函数的解析式
（1）是一次函数，且满足，求的解析式;
（2）已知函数，求函数的解析式．
（3）已知，求的解析式．
（4）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
题组五 相等函数的判断
1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．（24-25贵州·阶段练习）（多选）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（24-25江苏苏州·阶段练习）（多选）下列函数相等的是（ ）
A．函数与函数 B．函数与函数
C．函数与函数 D．函数与函数
5.（24-25福建）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题组六 分段函数
1.（24-25海南）已知函数，则的值为
2.（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则 ．
3.（24-25安徽）已知，则 ．
4.（2026高三·全国·专题练习）已知函数若，则 ．
题组七 函数的值域
1．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为
2.（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
3（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数在的值域为
4.（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
5.（2024高三·全国·专题练习）求函数，的值域．
6.（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值 最小值 .
7.（2024湖南衡阳）求下列函数的值域．
(1)，；(2)，；(3)，.(4)
（5） (6)(7)（8）（9）y＝，x∈
（10），
题组八 已知值域求参数
1．（2025重庆）已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24河北保定·阶段练习）（多选）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2025湖北）（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·江西）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ．
8.（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
9．（2025·上海）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
10（23-24江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ．
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2.1 函数及其表示（精练题组版）
题组一 具体函数的定义域
1.（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，即，
所以或，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D.
2．（2025浙江丽水）函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】由题可知，解得且.故选：D
3．（2024河南）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使有意义，需满足，解得且．所以定义域为.
故选：B．
4.（2025湖北）的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（1）要使函数有意义，必须满足，解得，
函数的定义域为.故选；B.
5.（2025湖北）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为.故选：B
题组二 抽象函数定义域
1.（2025江苏）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，所以，，即，解得，
所以，函数的定义域为故选：C
2.（2025江西）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（ ）
A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]
【答案】B
【解析】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，∴-2≤x≤3，∴-1≤x+1≤4，∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].
故选：B
3.（2025黑龙江）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以
所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，
所以的定义域是.故选：D.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为的定义域为，则，即，所以的定义域为，
又，所以函数的定义域为.故答案为：
5.（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是
【答案】
【解析】由函数的定义域是，得，则，由，解得，
所以的定义域是.故答案为：
6.（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
【答案】.
【解析】因为函数的定义域是，所以，故，
因为有意义，所以，所以，所以函数的定义域为.
故答案为：.
7.（23-24新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意知：，解得：，的定义域为.
故答案为：.
8.（2025上海）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】因为函数的定义域是，即，所以，所以，即，即，所以，即函数的定义域为
故答案为：
题组三 已知定义域求参数
1.（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得对任意实数都成立，
当时，，符合题意；
当时，满足，解得；
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
2．（24-25云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以不等式对于恒成立，
当时，不等式为，恒成立，符合题意；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（24-25安徽）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立.
当时，不等式为，显然恒成立；
当时，有 ，
即，解得，
所以的取值范围为，
故答案为：.
4（24-25云南）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以的解为，即的图象与轴没有交点，
当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意；
当时，要使的图象与轴没有交点，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围.
故答案为：
5.（24-25河南）函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵函数)的定义域为，
∴对任意，恒成立，
当时，有，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
题组四 函数的解析式
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则
【答案】
【解析】利用换元法令求解析式即可．令，则，且，则，
可得，所以.
2．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ．
【答案】
【解析】由，可得，联立两式消去，可得．
故答案为：.
3.（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 .
【答案】
【解析】由，①
将替换成，可得：，②
再将①中替换成：，可得：，③
①②相减可得：，④
③④相加可得：，
所以，
故答案为：
4．（24-25上海浦东新·阶段练习）已知函数满足，则的解析式为 .
【答案】
【解析】令.即，
故答案为：．
5.（2024山东淄博·）求下列函数的解析式
（1）是一次函数，且满足，求的解析式;
（2）已知函数，求函数的解析式．
（3）已知，求的解析式．
（4）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
【答案】（1）；（2）；（3），（6）x2－2(|x|≥2)
（5）f(x)＝ln x＋1
【解析】（1）由已知是一次函数，设函数，，
则，即，
即，解得，所以；
（2）由，则；
（3）由已知①，，则②，
所以①②得，，所以，.
（6）f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．
设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1，
题组五 相等函数的判断
1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数．
故选：ACD．
2.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AB
【解析】对于A，与的对应法则、定义域都相同，因此与为同一函数，故A正确；
对于B，与的对应法则、定义域都相同，因此与为同一函数，故B正确；
对于C，与的对应法则不同，因此与不是同一函数，故C错误；
对于D，与的对应法则不同，因此与不是同一函数，故D错误.
故选：AB.
3．（24-25贵州·阶段练习）（多选）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【解析】A：对于，定义域为，对于，定义域为，不是同一函数；
B：根据解析式对应法则和定义域都相同，是同一函数；
C：由，显然与的对应法则、定义域都相同，是同一函数；
D：由的定义域为，而的定义域为R，不是同一函数.
故选：BC
4．（24-25江苏苏州·阶段练习）（多选）下列函数相等的是（ ）
A．函数与函数 B．函数与函数
C．函数与函数 D．函数与函数
【答案】AB
【解析】因为函数，定义域为，
所以函数与函数是同一个函数，故A正确；
因为函数，定义域为，
所以函数与函数是同一个函数，故B正确；
因为函数，定义域为，
而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同，
所以函数与函数不是同一个函数，故C错误；
因为函数，定义域为，
而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同，
所以函数与函数不是同一个函数，故D错误；
故选：AB.
5.（24-25福建）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A.，对应关系不一致，不是同一函数.
B. ，定义域相同，对应关系一致，是同一函数.
C. 定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数.
D. 定义域为，可化为，
定义域为，可化为，是同一函数.
故选：BD.
题组六 分段函数
1.（24-25海南）已知函数，则的值为
【答案】
【解析】函数，则.
2.（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则 ．
【答案】/
【解析】因为，所以．故答案为：
3.（24-25安徽）已知，则 ．
【答案】
【解析】因为.
.即.故答案为：
4.（2026高三·全国·专题练习）已知函数若，则 ．
【答案】或
【解析】若，则，当且仅当时，等号成立；
若，则，当且仅当时，等号成立；
令，则，可得或．
当时，即，显然，因此；
当时，即，显然，因此，
综上所述：或．
故答案为：或.
题组七 函数的值域
1．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为
【答案】
【解析】函数的定义域为，又与在上均单调递增，所以在上单调递增，，故的值域为.
2.（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
【答案】
【解析】因为与在上均为减函数，且当时，，所以，故的值域为.故答案为：
3（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数在的值域为
【答案】
【解析】令，则，则，
令，，则，
所以，，
由二次函数的性质可得当，取得最大值，又，所以.
4.（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，即函数定义域为，
则，
当时，取最小值0，故取到最大值4，
则函数的最大值为2；
当时，取最大值1，故取到最小值2，
则函数的最小值为；
故答案为：.
5.（2024高三·全国·专题练习）求函数，的值域．
【答案】
【解析】，
令，则．
由对勾函数的单调性知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以
故的值域为．
6.（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值 最小值 .
【答案】最大值为，最小值为
【解析】因为恒成立，所以原函数定义域为，
由，得，
当时，，符合题意；
当时，由，得恒有实数根，
因此，解得且，
∴函数的最大值为，最小值为.
7.（2024湖南衡阳）求下列函数的值域．
(1)，；(2)，；(3)，.(4)
（5） (6)(7)（8）（9）y＝，x∈
（10），
【答案】(1) (2)(3)(4)（5）(6)(7)（8）1（9）≤y≤.
（10）
【解析】（1），，在区间上单调递增，所以值域为.
（2）因为，函数的定义域为,
所以在上单调递增，在上单调递减，
，又因为，，所以.所以的值域为.
（3），令，则，
在上单调递减，所以，所以，的值域为.
（4）的定义域是，，由于，所以，
所以值域为.
（5），因为，
所以原函数的值域为.
（6）因为，则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为.
（7）令，则，可得，
当时，等号成立，所以函数的值域为.
因为；易得：当且仅当时取最大值1.故答案为1
（9）函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.
（10）；时，；时，；
时，取最大值；又；的值域为．
题组八 已知值域求参数
1．（2025重庆）已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，由题意可得，解得，
可得，故.故选：B.
2．（23-24河北保定·阶段练习）（多选）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】，当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，
又，故要想在上的值域为，则要，
故实数的值可以是.故选：BCD
3.（2025湖北）（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【解析】，故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
因为值域为，故，
所以的值可能是2,3,4.
故选：ABC
4（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出函数的图象，如下图所示：
易知，；
若时的值域是，由图可知.
故选：C
5.（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，在上单调递减，
此时；
当时，．
①若，则在上单调递增，此时，
又函数的值域，不合题意；
②若，则，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域，则，
解得．综上所述：．
故选：C.
6．（2025·江西）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
当时，，则，则，
函数在的值域记为，
对任意的，存在，使，则，
①当时，，则，则；
②当时，因为，则，则，
所以，，解得；
③当时，因为，则，即，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
7.（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ．
【答案】 3
【解析】将函数变形为．
当时，这个关于x的方程有解，
则，即．
由题设知，是方程的两个根，
根据韦达定理，得，，
解得，．
当时，，也满足题意．
故答案为：
8.（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，符合题意；当时，需，解得．
综上可得．故答案为：.
9．（2025·上海）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
10（23-24江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ．
【答案】 5 5
【解析】由,得,
由，得若，则,
即,
由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9,
故有，解得.
当时,也符合题意,
∴.
故答案为：5；5.
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