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2.1 函数及其表示（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025浙江丽水）函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】由题可知，解得且.故选：D
2.（2025黑龙江）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以
所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，
所以的定义域是.故选：D.
3．（2025重庆）已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，由题意可得，解得，
可得，故.故选：B.
4．（24-25山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得在R上恒成立，
若，则，满足要求，
若，则只需，解得，
综上，，
由于为的真子集，
故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.
故选：A
5．（24-25内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
设，所以，化简得，
所以，，
则.
故选：A.
6．（24-25天津滨海新·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）
A． B．
C． D．和
【答案】B
【解析】对于A，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为定义域为，
故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为定义域为,
故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
7．（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，的取值范围为，
要使的值域为，必有在上单调递增，且，
所以解得.
故选:D.
8．（2024重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项，令，则，
则函数在上单调递增，则，故A错误；
B选项，，则，故B错误；
C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号，
则，故C错误.D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确.故选：D
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
10．（24-25重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数的定义域为
D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，函数的定义域为的定义域为，
故函数与不是同一个函数，A不正确；
对于B：因为函数的定义域为，
所以，
所以函数的定义域为，B正确
对于C，不等式，
则解集为，C不正确
对于D，当时，不等式恒成立.
当时，恒成立；
当时，则需满足，
综合可得的取值范围是，D不正确，
故选：ACD
11．（24-25广东河源·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．函数满足，则
【答案】AD
【解析】对于A，因为的定义域为，
对于函数，则，解得，即函数的定义域为，故A正确；
对于B，定义域为，定义域为R，
所以和不是同一个函数，故B错误；
对于C，令，则，，
所以
因为，所以在上单调递减，所以，
所以函数的值域为，故C错误；
对于D，因为①，
所以②，
②得③，
①③得，，
解得，故D正确；
故选：AD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·宁夏银川·二模）若定义在R上的函数满足，且，则 .
【答案】3
【解析】令，可得，又，则.故答案为：3.
13．（2024青海西宁）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】若，则，不满足题意；
若，则，
当，即时，的值域为，满足题意.
故答案为：.
14．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，在上值域为，显然不存在最大值；
当时，在上，而在上最大值为，满足题设；
当时，在上值域为，
若时，在上最大值为，
此时，故存在最大值，满足题设；
若时，在上最大值为，
此时只需，则，即，
故，存在最大值，满足题设；
综上，.
故答案为：
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25云南昭通·期末）已知函数．
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)若的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因的定义域为，则，
则或；
（2）因的值域为，则的值域包含所有正数.
则.
16．（24-25四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)若函数的图象经过点，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，求不等式的解集；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）因为的图象经过点，
所以，则；
（2）由（1）得，解得，
所以不等式的解集为；
（3），
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
17．（2025高三·全国·专题练习）已知满足下列条件，分别求的解析式．
(1)；
(2)是二次函数，方程有两个相等实根，且；
(3)满足．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）方法一（配凑法）：
，
．
．
方法二（换元法）：设，则，
，
即．
（2）设，
则，
．
又方程有两个相等实根，
，故．
（3）已知，①以代替①中的，
得，②
，得．
故．
18．（24-25重庆·阶段练习）已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）在不等式，令.
（2）因为为二次函数且图象过原点，所以可设，
由，于是，
由题：恒成立
，
检验知此时满足，故.
（3）函数，开口向上，对称轴，所以在区间上单调递增，因此，时，，即，
而在上单调递减，所以时，
因为对任意，均存在，使得，
等价于
19．（24-25河北邯郸·期末）若函数在定义域内存在区间满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②函数在区间上的值域为（为常数且），则称函数在定义域内为“闭函数”．
(1)当时，证明：为“闭函数”，并求出区间；
(2)当时，若函数是“闭函数”，求的取值范围；
(3)若定义在上的函数是“闭函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【解析】（1）函数在区间上单调递增，
若函数是闭函数且，则当时，函数在上的值域应为，且，因为，所以解方程得，
所以在区间上单调递增，且值域为，所以为“闭函数”，故所求区间为．
（2）因为在上单调递减，
当时，若函数是“闭函数”，则，且，
两式作差，所以，
所以，即，同理，所以，为方程在区间上的两个不相等的非负实根，
故，解得．
（3）
当，在区间上单调递减，所以，即，消去得，与矛盾．
当，，在区间上单调递增，所以，即
，所以方程在上有两个不相等的实数根
即在上有两个不相等的实数根，令，
在单调递增，在单调递减，，，所以的范围为．
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2.1 函数及其表示（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025浙江丽水）函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．且
2.（2025黑龙江）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025重庆）已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（24-25山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25天津滨海新·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）
A． B．
C． D．和
7．（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A． B．
C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
10．（24-25重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数的定义域为
D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是
11．（24-25广东河源·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．函数满足，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·宁夏银川·二模）若定义在R上的函数满足，且，则 .
13．（2024青海西宁）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
14．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25云南昭通·期末）已知函数．
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)若的值域为，求的取值范围．
16．（24-25四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)若函数的图象经过点，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，求不等式的解集；
(3)解关于的不等式.
17．（2025高三·全国·专题练习）已知满足下列条件，分别求的解析式．
(1)；
(2)是二次函数，方程有两个相等实根，且；
(3)满足．
18．（24-25重庆·阶段练习）已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
19．（24-25河北邯郸·期末）若函数在定义域内存在区间满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②函数在区间上的值域为（为常数且），则称函数在定义域内为“闭函数”．
(1)当时，证明：为“闭函数”，并求出区间；
(2)当时，若函数是“闭函数”，求的取值范围；
(3)若定义在上的函数是“闭函数”，求实数的取值范围．
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