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2.2 函数的单调性及其应用（精练题组版）
题组一 具体函数的单调性
1.（2025高三·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025广西）函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
3.（2025陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025甘肃）函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为（ ）
A．(-∞，0]，[1，+∞) B．(-∞，0]，(-∞，1]
C．[0，+∞)，[1，+∞) D．[0，+∞)，(-∞，1]
5（2025陕西）函数的单调递减区间为（　 ）
A． B．
C． D．
6．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
7（23-24高三上·广东湛江·开学考试）已知函数，则的增区间为（ ）
A． B． C． D．
8.（24-25山东·阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．有最小值 B．的单调递增区间为
C．有最大值 D．的单调递增区间为
9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（ ）
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
10．（2025天津和平·期中）函数的单调递增区间是 .
11．（24-25 广东韶关·期中）已知函数，则下列说法正确的是 .
（1） 函数在上是单调递增
（2） 函数在上是单调递增
（3） 当时，函数有最大值
（4） 当或时，函数有最小值
12（24-25 湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 .
13．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是
14．（2024山东）函数的单调递增区间是 ．
15（2024高三下·全国·专题练习）若函数，则函数的单调递增区间为 ．
题组二 已知单调性求参数
1．（24-25河南周口·期末）若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 湖北·阶段练习）已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（24-25 云南大理·期末）已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（24-25陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
6.（24-25 北京·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25 辽宁丹东·期中）设函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9.（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 .
10（2025高三·全国·专题练习）若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 .
11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
13．（24-25上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
14（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 .
题组三 函数奇偶性的判断
1．（24-25湖南娄底·阶段练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24 湖南 ）（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25 贵州 ）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三下·天津宁河·开学考试）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递减
11．（24-25高三上·广东湛江·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高三上·安徽亳州·期末）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题组四 已知奇偶性求参数
1.（24-25高三上·甘肃武威·期末）若函数.为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．无解
2（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数为偶函数，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．1
3（24-25高三下·浙江·开学考试）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．（24-25高三下·上海·阶段练习）设且是奇函数，则实数的值为 .
5（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 .
6（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，且是偶函数，则实数 ．
题组五 奇偶性的应用---求解析式
1（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25 上海）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
3.（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，当时，，则 ．
4（2025新疆）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
5．（2024山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
6．（2025北京）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
题组六 奇偶性的应用---求函数值
1.（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ．
（24-25高一上·海南·期中）设函数的最大值为，最小值为，则
3.（2024·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则
4.（23-24高三上·安徽·开学考试）已知函数的最大值为，最小值为，则
5.（2025南昌）设函数的最大值为,最小值为,则
6.（2025广东）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则 。
7.（2025江苏淮安·阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为，则
8.（2025广东·阶段练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则
9.（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ．
10．（2025湖北）若函数既存在最大值，又存在最小值，则的值为
11（2025山西吕梁·期中）设函数的最大值为，最小值为，则 .
12（23-24高三上·云南·阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则 .
题组七 单调性与奇偶性的应用---解不等式
1.（2025河北）已知是定义在上的增函数，若的图象过点和，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
2.（2025四川）已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25云南）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东广州·一模）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ．
题组八 单调性与奇偶性的应用---比较大小
1.（2024湖北 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025北京 ）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025山东 ）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
4.（2025·新疆）已知函数，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5.（2025河南 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6.（2025安徽）已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题组九 抽象函数的单调性与奇偶性
1．（24-25云南昭通·期中）（多选）函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是上的减函数
C．在上的最小值为2
D．若，则实数的取值范围为
2．（2025·江苏南京·一模）（多选）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．当时，
D．在上单调递减
3．（24-25江西）（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数
4．（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.
(1)求
(2)判断的奇偶性并证明
(3)证明在上单调递减
6.（2024高三·全国·专题练习）设函数是R上的增函数，对任意，都有 .在①，②中任选一个条件，然后解答以下问题.
(1)求；
(2)求证：是奇函数；
(3)若，求实数x的取值范围.
7.（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有..，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
8．（23-24 福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
9．（23-24上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”．
(1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式；
(2)已知函数是“型函数”，求p和b的值；
(3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由．
10（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数对任意x、，都有，且时，．
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在R上为减函数．
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2.2 函数的单调性及其应用（精练题组版）
题组一 具体函数的单调性
1.（2025高三·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据一次函数的单调性，可得是减函数，故A错误；
根据指数函数的单调性，可得都是减函数，故B，C均错误；
根据幂函数的单调性，可得是增函数，故D正确.
故选：D.
2．（2025广西）函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数是实数集上的减函数，
因为二次函数的开口向下，对称轴为，
所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，
故选：C
3.（2025陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
4．（2025甘肃）函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为（ ）
A．(-∞，0]，[1，+∞) B．(-∞，0]，(-∞，1]
C．[0，+∞)，[1，+∞) D．[0，+∞)，(-∞，1]
【答案】D
【解析】，增区间是，
，增区间是．
故选：D．
5（2025陕西）函数的单调递减区间为（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.
画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为.
故选：B.
6．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由且，得，即或，
所以函数的定义域为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
7（23-24高三上·广东湛江·开学考试）已知函数，则的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数定义域为，
令，又在上单调递增，的增区间为，
所以的增区间为.
故选：A.
8.（24-25山东·阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．有最小值 B．的单调递增区间为
C．有最大值 D．的单调递增区间为
【答案】AD
【解析】设，
则在上单调递增，在上单调递减．
因为为减函数，所以根据复合函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值．
故选：AD.
9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（ ）
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【答案】ABC
【解析】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误；
对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误；
对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误；
对于D，函数在上为增函数，则对于任意的，
设，必有，
对于，则有，即，
则在上为减函数，故D正确．
故选：ABC.
10．（2025天津和平·期中）函数的单调递增区间是 .
【答案】
【解析】由得或，
∴函数的定义域为．
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵函数在其定义域上单调递减，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
故答案为：．
11．（24-25 广东韶关·期中）已知函数，则下列说法正确的是 .
（1） 函数在上是单调递增
（2） 函数在上是单调递增
（3） 当时，函数有最大值
（4） 当或时，函数有最小值
【答案】（2）（4）
【解析】，作出函数的图象如下：
由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增，
故（1）错误，（2）正确；
由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，
故（3）错误，（4）正确；
故答案为：（2）（4）.
12（24-25 湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】
画出函数图象，如图可知，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
综上所述函数的单调递减区间为.
故答案为：
13．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是
【答案】
【解析】函数的定义域为R，令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
14．（2024山东）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】函数，
由，解得或，
函数的图象如图所示，
由图可知，函数的单调递增区间为.
故答案为：.
15（2024高三下·全国·专题练习）若函数，则函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】的定义域为,
令在上单调递减,且
当时,,当时,,在上单调递增,
在上单调递减.
函数的单调递增区间为.
故答案为：
题组二 已知单调性求参数
1．（24-25河南周口·期末）若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得且，解得且，
由于在上单调递减，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，需在上单调递增，
故，故，
又真数大于0，故在上恒成立，
由于在上单调递减，故只需，解得，
故.
故选：D
2．（24-25 湖北·阶段练习）已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由，函数在上单调递减，，
又函数在上单调递增，则，即，因此；
当时，函数在上单调递增，，
又函数在上单调递增，则，即，因此，
所以实数的取值范围为.
故选：C
3（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若在上单调递增，
则必然在处有定义，所以，即；
若，则当时，所以在上有定义，
再由知在上单调递增，所以在上单调递增.
故选：C.
4（24-25 云南大理·期末）已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数在上单调递增，则，解得，
所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
5.（24-25陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二次函数在区间上单调递增，则，解得，
显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于，
所以所求的一个充分不必要条件为.
故选：C
6.（24-25 北京·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对任意，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得，
故选：C.
7．（24-25 辽宁丹东·期中）设函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可知在上是增函数，
所以，解得．
故选：D.
8（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
9.（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
10（2025高三·全国·专题练习）若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 .
【答案】0
【解析】函数的单调递增区间是，
依题意，，所以.
故答案为：0
11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以，解得，则.
故答案为：.
13．（24-25上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知函数定义域为或，
令是二次函数，对称轴为，在上单调递增，
由复合函数单调性可知，在上严格增，则.
故答案为：
14（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为在定义域内单调递增，且在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
若函数在区间上严格增，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
题组三 函数奇偶性的判断
1．（24-25湖南娄底·阶段练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】函数为偶函数，为偶函数，
为奇函数，为非奇非偶函数.
故选：AB.
2.（23-24 湖南 ）（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，
所以不是奇函数，故A错误；
对于B，对于，，
即，所以不是奇函数，故B错误；
对于C，因为的定义域为，关于原点对称，
又，故是奇函数，故C正确；
对于D，因为的定义域为，关于原点对称，
又，故是奇函数，故D正确；
故选：CD.
3．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，当时，函数可化为，
函数在上单调递增，不满足条件，排除A，
对于B，设，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，
即函数为奇函数，不满足条件，排除B；
对于D，设，
则当时，，当时，，
因为，，
所以函数在上不单调递减，不满足条件，排除D，
对于C，设，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，
因为，由幂函数性质可得函数在上单调递减，
故函数为偶函数，且在上单调递减，C正确；
故选：C.
4．（24-25 贵州 ）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，函数的定义域为，，
即函数为偶函数，
且，即函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，函数在上不单调，A不满足要求；
对于B选项，函数为奇函数，该函数的定义域为，
函数在定义域上不单调，B不满足要求；
对于C选项，函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，
因为函数在上为增函数，则该函数在上为增函数，
故函数在上为增函数，C满足要求；
对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足要求.
故选：C.
5（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，定义域为R，
则，即不是奇函数；
对于B，，定义域为R，
则，即不是奇函数；
对于C，，定义域为R，
，即为奇函数，C正确；
对于D，，定义域为R，
，即不是奇函数，
故选：C
6．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A：，定义域为R，是偶函数，不符；
B：，定义域为，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符；
C：，定义域为R，是偶函数，不符；
D：，定义域为R，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合.
故选：D
7．（24-25高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；
B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；
A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确；
D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.
故选：C.
8．（24-25高三下·天津宁河·开学考试）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A选项，定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数，故A正确；
B选项，定义域为，，所以为偶函数，故B错；
C选项，定义域为R，，所以为偶函数，故C错；
D选项，定义域为R，，所以为奇函数，故D错.
故选：A.
9．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 在上单调递减，不符合题意，故A错误；
对于B，由对勾函数性质可知在上不单调，不符合题意，故B错误；
对于C，，不为偶函数，故C错误；
对于D，，且的定义域为，
即为偶函数，由在上单调递增，
在定义域内单调递增，故在上单调递增，符合题意，故D正确.
故选：D.
10．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】B
【解析】的定义域为，而，则，
故是奇函数，
由于，函数单调递增，故在上单调递增，
故选：B
11．（24-25高三上·广东湛江·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A不满足要求；
对于B选项，函数的定义域为，
设，则，即函数为偶函数 ，
当时，，则函数在上单调递增，B满足要求；
对于C选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递减，C不满足要求；
对于D选项，函数为偶函数，且该函数在上单调递减，D不满足要求.
故选：B.
12．（24-25高三上·安徽亳州·期末）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由且可得的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，A错误；
对于B，函数的定义域为R，令，，∴函数不是偶函数，B错误；
对于C，函数的定义域为，令，则，所以函数为奇函数，C错误；
对于D，函数的定义域为R，令，，
∴函数为偶函数，D正确.
故选：D.
题组四 已知奇偶性求参数
1.（24-25高三上·甘肃武威·期末）若函数.为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．无解
【答案】D
【解析】根据题意，函数，则，
若为奇函数，则，
即，a的值不是常数，即无解．
故选：D.
2（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数为偶函数，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．1
【答案】C
【解析】由题意可知函数的定义域为，因为是偶函数，
所以，
整理得，故，得.
故选：C.
3（24-25高三下·浙江·开学考试）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】法一：令，
此时，满足题意．
法二：由函数是奇函数则，即得，
所以，即得，计算得．
故选：D.
4．（24-25高三下·上海·阶段练习）设且是奇函数，则实数的值为 .
【答案】
【解析】函数为奇函数，
则，即，
所以，解得，经检验符合题意.
故答案为：
5（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 .
【答案】
【解析】，
则，，
若，则，定义域是，
定义域不关于原点对称，不符合题意，所以，
所以，要使的定义域关于原点对称，
则需，则，
此时的定义域是.
则由解得，
此时
，，符合题意.
所以
故答案为：
6（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，且是偶函数，则实数 ．
【答案】
【解析】，且是偶函数，
则，所以，
所以，又因为，所以，
则实数．
当时，为偶函数，符合题意.
故答案为：0.
题组五 奇偶性的应用---求解析式
1（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，所以，
又函数是奇函数，所以，即，.即.故选：C
2（24-25 上海）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
【答案】
【解析】当时，，故，
又是定义在上的奇函数，故，
所以，故.
故答案为：
3.（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【解析】由函数是上的奇函数，得，
而当时，，所以有．
综上所述，
故答案为：
4（2025新疆）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
【答案】
【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，，
设，则，则，所以.
综上所述，.故答案为：
5．（2024山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【答案】
【解析】和已知条件相加得
故故答案为：
6．（2025北京）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【解析】当，又因为为上的奇函数，
所以，解得，
又，所以当．故答案为：.
题组六 奇偶性的应用---求函数值
1.（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ．
【答案】3
【解析】因为函数为奇函数，所以，
设，则，所以，
所以，则，
所以.
故答案为：3
（24-25高一上·海南·期中）设函数的最大值为，最小值为，则
【答案】4
【解析】，设，
,则为奇函数，
设的最大值为，则最小值为，
则,,
所以.
故选：B.
3.（2024·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则
【答案】0
【解析】由恒成立可知函数的定义域为，
由可知为奇函数，
则.
故选：B
4.（23-24高三上·安徽·开学考试）已知函数的最大值为，最小值为，则
【答案】6
【解析】令，则
所以是定义域上的奇函数，因此.
又的最大值为，最小值为，
的最大值是，最小值是；
，
则．
故选：A.
5.（2025南昌）设函数的最大值为,最小值为,则
【答案】2
【解析】函数,
记，则，
故为R上的奇函数，
由奇函数图像关于原点对称可知，，
而，，所以1，
6.（2025广东）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则 。
【答案】8
【解析】设，，
因为，所以函数为奇函数，
所以，所以，所以．
7.（2025江苏淮安·阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为，则
【答案】10
【解析】设，
则，
∴，是奇函数，
又，，
∴，．
8.（2025广东·阶段练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则
【答案】2
【解析】∵
令，
而，
∴，则关于中心对称，则在上关于中心对称．∴．
9.（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ．
【答案】
【解析】函数，
设，，，则是奇函数，
的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为，．
．故答案为：
10．（2025湖北）若函数既存在最大值，又存在最小值，则的值为
【答案】
【解析】.
令，则，.
∵.∴是奇函数.∴，
∴.
故答案为：
11（2025山西吕梁·期中）设函数的最大值为，最小值为，则 .
【答案】2
【解析】
，
令，则定义域为R，且，
故是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数的最大值与最小值的和为2，
故在函数中，.
12（23-24高三上·云南·阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则 .
【答案】4
【解析】在闭区间上一定有最值，，
设，则，是奇函数，则其对称中心为，
所以在，，
则故答案为：4
题组七 单调性与奇偶性的应用---解不等式
1.（2025河北）已知是定义在上的增函数，若的图象过点和，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵的图象过点和，
∴，，
又∵是定义在上的增函数，
∴等价于，即，
解得，即不等式的解集为，
故选B.
2.（2025四川）已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的减函数，且，
所以，解得，故选：C
3.（24-25云南）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，，所以，
因为在上单调递减，当时，，故，
因为是定义在上的奇函数，故在上单调递减，
又，当时，，故，
综上，的解集为.
故选：D
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，求导得，
函数在R上单调递增，由，得，
即，则，因此，解得，
所以所求的取值范围是.
故选：C
5．（2025·广东广州·一模）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，则，
由，
得，
又因为函数在上单调递减，且，
则函数在上单调递增，
则时，，当时，，
则当时，，
当时，，
所以的解集为，的解集为，
由于不等式的解集为，
当时，不等式为，
此时解集为，不符合题意；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
要使不等式的解集为，
则，即；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
此时不等式的解集不为；
综上所述，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为.
故选：C
6（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数．
由，
得，即，
又，，
且，所以在上单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
题组八 单调性与奇偶性的应用---比较大小
1.（2024湖北 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故
故选：D
2．（2025北京 ）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，
则，，，
，且，
，由于函数在上为减函数，
所以，，因此，，
故选：B．
3.（2025山东 ）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因函数在R上单调递增，，则，而，因此，
又当时，对任意的不相等实数总有成立，则在上单调递减，
而函数是R上的偶函数，所以.
故选：C
4.（2025·新疆）已知函数，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以的对称轴为，则有，
又当时，得，
而和均在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，
又，
，即，
所以，即.故选：A
5.（2025河南 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故故选：D
6.（2025安徽）已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，定义域关于原点对称，
，所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递增，所以,
所以在上单调递增，又因为为偶函数,
所以在上单调递减，
又因为,所以,
又因为,因为,，所以,
所以，即,所以,所以,即.故选：A.
题组九 抽象函数的单调性与奇偶性
1．（24-25云南昭通·期中）（多选）函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是上的减函数
C．在上的最小值为2
D．若，则实数的取值范围为
【答案】BD
【解析】对于A，取，则，解得，
令，则，即，且函数定义域是，
所以函数是奇函数，故A错误；
对于B，令，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，
函数是上的减函数，故B正确；
对于C，因为函数是上的减函数，
所以函数在上的最小值为，
又，
，故，
在上的最小值为，故C错误；
对于D，，即，
因为函数是上的减函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为，故D正确，
故选：BD.
2．（2025·江苏南京·一模）（多选）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．当时，
D．在上单调递减
【答案】ACD
【解析】因为，
令，，可得，
所以，
令，，可得，
所以，
所以，A正确；
由，
令可得，，
再将中的替换为，可得，
所以，
所以，所以函数为奇函数，B错误；
当时，将中的用替换，
可得，即，
当时，，由已知可得，
所以，，
又函数为奇函数，所以当时，，，
所以当时，，C正确；
因为，
所以若，则，
任取，且，
则，
因为，所以，，
所以，所以，
所以函数在上单调递减，
设，
当时，，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，
所以在上单调递减.
故选：ACD.
3．（24-25江西）（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】对于A选项，对任意的实数、满足，
令可得，解得，A对；
对于B选项，令，可得，
即，解得，
再令可得，B错；
对于D选项，令，
由可得，
即，且，
令，则，即，
所以，函数为奇函数，D对；
对于C选项，由题意可知，当时，，
当时，，即时，，
故当时，，
任取、且，
则，
即函数在上为增函数，C对.
故选：ACD.
4．（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式.
【答案】(1)，
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【解析】（1）令，得，所以.
令，，得，
所以.
（2）为奇函数，证明如下：
由题意，任意x，，
令得，，即，
所以函数为奇函数.
（3）设，，且，则，
所以，
所以，
故在上为增函数.
等价于，
所以，解得，
故原不等式的解集为.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.
(1)求
(2)判断的奇偶性并证明
(3)证明在上单调递减
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由对任意，总有，
令，则，则，
又由，得，
则，
（2）令，则，
则有，故，则是奇函数
（3）设任意，，
则，
又，则，则，
则在上单调递减.
6.（2024高三·全国·专题练习）设函数是R上的增函数，对任意，都有 .在①，②中任选一个条件，然后解答以下问题.
(1)求；
(2)求证：是奇函数；
(3)若，求实数x的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）若选①：对任意，，
因为函数的定义域为R，令，可得.
若选②：对任意，
令，可得，即.
（2）若选①：在中，令，则，
且的定义域为，
所以是奇函数；
若选②：对任意，都有，
令，可得，
可得，由，可得，
即有为奇函数；
（3）奇函数是上的增函数，
由，得，即，
即有，解得．
所以实数的取值范围为．
7.（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有..，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
【答案】(1)奇函数
(2)单调递增，证明见解析
【解析】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.
（2）在上单调递增.证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此，
因为，且当时，，所以，
又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增.
8．（23-24 福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)为奇函数；
(2)在上的单调递减，证明见解析；
(3).
【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，
取，则，即，
取，则，所以，
所以为奇函数.
（2）在R上的单调递减，证明如下：
任取，且，则，
令，则，
因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以，
即，所以在上的单调递减.
（3）由，得，
因为，所以，
因为在上的单调递减，所以，
即时，恒成立，
等价于对任意时，恒成立，
令，则，
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
9．（23-24上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”．
(1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式；
(2)已知函数是“型函数”，求p和b的值；
(3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且，
联立解得函数的解析式.
（2）由题意函数是“型函数”，
所以，
而，
所以恒成立，当且仅当，解得，
即满足题意的p和b的值分别为.
（3）由题意函数是“型函数”，
所以，
而
，
所以恒成立，
当且仅当恒成立，
当且仅当恒成立或恒成立（舍去），
所以，解得，
即满足条件的k、a和b的一组值分别为.
10（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数对任意x、，都有，且时，．
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在R上为减函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）取得
，
取得，
即，所以为奇函数；
（2）任取，，
则，
由，得，所以，
即，
故在R上为减函数．
11（23-24广东东莞·期中）已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)为上的减函数；
(3)
【解析】（1）为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.
12．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)
【解析】（1）是奇函数，
理由如下：
由，①
令，代入①式，得，即．
令，代入①式，得，又，
则有．即对任意成立，
所以是奇函数．
（2），即，又在上是单调函数，
所以在上是增函数
又由（1）是奇函数．，
∴，对任意成立．
令，问题等价于对任意恒成立．
令，其对称轴．
当即时，，符合题意；
当时，对任意，恒成立．
解得．
综上所述，当时，对任意恒成立．
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