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2.2 函数的单调性、奇偶性（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·北京）下列函数中，在为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确故选：D．
2．（2025·宁夏）“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数为偶函数，且为奇函数，
可知为奇函数，则，
即，整理得，
因为，可得，
即函数为偶函数，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数为偶函数”充分不必要条件.
故选：A.
3（2025江西抚州）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
4．（2024内蒙古赤峰）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故在R上单调递减，所以，解得：故选：D.
5．（2025·北京）函数，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】注意到定义域为全体实数，且，
所以是上的偶函数，从而，
因为在上单调递增，所以关于在上单调递减，
而，所以.选：B.
6.（2025江苏）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得的定义域为，
又，故为偶函数，
而当时，易知单调递增，
而对于，在上恒成立，
所以在上也单调递增，
故在上单调递增，
则由，得，解得或.
故选：D.
7.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，求导得，
函数在R上单调递增，由，得，
即，则，因此，解得，
所以所求的取值范围是.
故选：C
8（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，当时，函数可化为，
函数在上单调递增，不满足条件，排除A，
对于B，设，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，
即函数为奇函数，不满足条件，排除B；
对于D，设，
则当时，，当时，，
因为，，
所以函数在上不单调递减，不满足条件，排除D，
对于C，设，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，
因为，由幂函数性质可得函数在上单调递减，
故函数为偶函数，且在上单调递减，C正确；
故选：C.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，函数的定义域为，显然该函数在定义域上不单调，A不是；
对于B，函数的定义域为R，都是奇函数，也都是增函数，
因此在R是奇函数，又是增函数，B是；
对于C，函数的定义域为R，，即函数是偶函数，C不是；
对于D，函数的定义域为R，，
即函数是奇函数，且当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，因此函数在R上单调递增，D是.
故选：BD
10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】的定义域为，在区间上单调递增，但，
即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A错误；
的定义域为，在区间上单调递增，
且，∴是偶函数，其图象关于轴对称，即B正确；
的定义域为，在区间上单调递减，C错误；
的定义域为，在区间上单调递增，且，
∴是偶函数，其图象关于轴对称，即D正确.
故选:BD.
11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
【答案】AC
【解析】在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025甘肃）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】的定义域为，，
为定义在上的奇函数；
与均为上的增函数，为上的减函数，
为定义在上的增函数；
由得：，
，解得：，的解集为.
故答案为：.
13．（2025湖北）已知函数的最大值为，最小值为，则
【答案】2
【解析】，
令，则，
即为奇函数，图象关于原点对称，
，
，，且，
，则．
故答案为：2．
14（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
【答案】(或)
【解析】函数的定义域为，
令在定义域上为增函数，则在上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增，
即函数单调递增区间为．
故答案为：(或)
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)既是奇函数又是偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
(4)奇函数.
【解析】（1）由得，解得，即函数的定义域为，从而.
因此且，函数既是奇函数又是偶函数.
（2）由得定义域为，关于原点对称.
，，.
又，
函数为奇函数.
（3）显然函数的定义域为，关于原点对称.
当时，，则；
当时，，则；
综上可知：对于定义域内的任意，总有，函数为奇函数.
（4）显然函数的定义域为，，故为奇函数.
16（24-25 上海·阶段练习）已知函数；
(1)判断函数的奇偶性，并按定义证明：
(2)判断函数，的单调性，并按定义证明；
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)函数在为减函数，证明见解析
【解析】（1）函数为奇函数，
由，所以函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数；
（2）函数在为减函数，
对任意的，且，
，
因为，在上为增函数，
所以，，
所以，
所以函数在为减函数.
17．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，则，
时，．
，
是定义在R上的奇函数，
，
故，；
（2）等价于，
时，单调递减，
又为定义在R上的奇函数，故在R上为减函数，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需，
，，
，
，即实数的取值范围是．
18（2025山西吕梁·阶段练习）已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若，，，且在上单调递减，求不等式的解集.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
【解析】（1）是偶函数，
证明如下：
因为的定义域为R，所以对，都有.
令，则，
所以.
令，则，
所以，即，故是偶函数.
（2）令，则，
由不等式得，
所以，
即，
所以，
化为，且在上单调递减，
由偶函数的性质与单调性可知，，
解得，
故不等式的解集为.
19．（23-24上海）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”．
(1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式；
(2)已知函数是“型函数”，求p和b的值；
(3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且，
联立解得函数的解析式.
（2）由题意函数是“型函数”，
所以，
而，
所以恒成立，当且仅当，解得，
即满足题意的p和b的值分别为.
（3）由题意函数是“型函数”，
所以，
而
，
所以恒成立，
当且仅当恒成立，
当且仅当恒成立或恒成立（舍去），
所以，解得，
即满足条件的k、a和b的一组值分别为.
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2.2 函数的单调性、奇偶性（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·北京）下列函数中，在为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·宁夏）“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3（2025江西抚州）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024内蒙古赤峰）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京）函数，记，则（ ）
A． B．
C． D．
6.（2025江苏）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025甘肃）已知函数，则不等式的解集为 ．
13．（2025湖北）已知函数的最大值为，最小值为，则
14（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
16（24-25 上海·阶段练习）已知函数；
(1)判断函数的奇偶性，并按定义证明：
(2)判断函数，的单调性，并按定义证明；
17．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
18（2025山西吕梁·阶段练习）已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若，，，且在上单调递减，求不等式的解集.
19．（23-24上海）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”．
(1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式；
(2)已知函数是“型函数”，求p和b的值；
(3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由．
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