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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲）
考向一 函数的对称性
【例1-1】（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【例1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【一隅三反】
1.（24-25安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列关于函数的正确结论有（ ）
A．无对称轴 B．无对称中心
C．有对称轴 D．有对称中心
4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称
C．若函数过定点，则函数过定点
D．若函数的图象关于点中心对称，则
5．（24-25高三下·河南周口·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则 ．
6．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 .
考向二 函数的周期性
【例2-1】（2025·上海嘉定·三模）函数，满足，当，，则 .
【例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【例2-3】（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ）
A． B．1 C．0 D．3
【例2-4】（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例2-5】（2026高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（2024·陕西榆林·二模）已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
4.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
考向三 函数性质的综合应用---解不等式
【例3-1】（2025·河南·三模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（2025·河北）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
B． C． D．
2.（2025广东）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，则不等式的解集为 ．
考向四 函数性质的综合应用---比较大小
【例4】（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3.（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）（多选）定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考向五 函数4大性质的综合应用
【例5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称
【例5-2】（2026·广西）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．3是的一个周期
D．
【一隅三反】
1.（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期函数
C． D．
2．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的一个周期 B．
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点
3.（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．是周期函数，且其中一个周期为8 D．
4．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，满足，，且为奇函数，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．为偶函数 D．
考向六 函数图像
【例6-1】（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【例6-2】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24 云南大理·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ）
A．B． C． D．
考向七 抽象函数
【例7-1】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．4为函数的一个周期
【例7-2】（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A． B．是奇函数（ ）
C．是奇函数 D．恒成立
【例7-3】（2025·广东深圳·三模）（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
考向八 函数新定义
【例8-1】（2025·山东·模拟预测）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2025·云南·一模）（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东·二模）（多选）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
3．（2025·云南·一模）（多选）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲）
考向一 函数的对称性
【例1-1】（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】C
【解析】对于A：，A错；
对于B：，B错；
对于C：由，
所以关于直线对称，C对；
对于D，，故D错；
故选：C
【例1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.
故选：D.
【例1-3】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为关于点中心对称，所以，
所以，可得，故选：C．
【一隅三反】
1.（24-25安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
又函数的图象是的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的，
所以函数图象对称中心的是，故选：B
2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
【答案】B
【解析】函数，
对于A，，
故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列关于函数的正确结论有（ ）
A．无对称轴 B．无对称中心
C．有对称轴 D．有对称中心
【答案】BC
【解析】的图像关于对称的折线，
函数的图像是由向下平移2个单位，
再把轴下方的部分沿轴对称翻折到轴上方，函数的对称轴仍为，无对称中心．
故选：BC.
4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称
C．若函数过定点，则函数过定点
D．若函数的图象关于点中心对称，则
【答案】ABC
【解析】对于A中，函数，
其图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
且的图象关于原点对称，故的图象关于点中心对称，所以A正确；
对于B中，因为为奇函数，可得，
所以，所以，
所以函数关于点中心对称，所以B正确；
对于C中，函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，
由于过定点，所以函数过定点，所以C正确；
对于D中，函数的图象关于点中心对称，
所以，解得，所以，所以D不正确．
故选：ABC.
5．（24-25高三下·河南周口·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则 ．
【答案】
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以对恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，恒成立，
所以恒成立，所以恒成立，所以.
故答案为：.
6．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 .
【答案】
【解析】设是的图象上一点，
关于点的对称点为，
由题知点也在的图象上，则 ，
两式相加得，
所以恒成立，故，
且，整理得.
若，则，此时的图象不关于点对称，不符合要求；
若，则，符合要求，所以.
法二：
由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称，
即的解集关于对称，得，所以，
设，
则，
故的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，
所以，所以.
故答案为：.
考向二 函数的周期性
【例2-1】（2025·上海嘉定·三模）函数，满足，当，，则 .
【答案】1
【解析】因为满足，所以的周期为，.
故答案为：1.
【例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由得，所以函数的周期，
所以．故选：B.
【例2-3】（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ）
A． B．1 C．0 D．3
【答案】B
【解析】的图象关于直线对称，，
又为奇函数，，，
，是以4为一个周期的周期函数，
．
故选：B.
【例2-4】（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由①可得，
由②可得，
因此，所以的周期为8，
，
由于，
，
故选:A
【例2-5】（2026高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数为偶函数，可得，即，
可得函数关于对称，则，
又由是奇函数，可得，
所以函数关于点对称，则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则，
由，可得，
所以，则，
即，所以，
即导函数关于点对称，且，
又由，可得，即导函数的周期是4，
则，所以．
故选：D．
【一隅三反】
1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为定义在上的奇函数满足，
所以，所以，即，
所以是周期为的周期函数，且，，
所以．
故选：C．
2（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题故．又，，故．
结合周期性可知，
故．
故选：C
3.（2024·陕西榆林·二模）已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：B
4.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，
同理，由，得，
因为，所以，即，
因为，所以，
则，则，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，
由．得，所以．即，
所以．
故选：A．
考向三 函数性质的综合应用---解不等式
【例3-1】（2025·河南·三模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得的图象关于直线对称，
又，得，解得，
由在上单调递减，可知在上单调递增，
画出的大致图象如下所示，
结合图象及可得或，
解得或，
不等式的解集为.
故选：D.
【一隅三反】
1.（2025·河北）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
2.（2025广东）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（C
【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，
结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式等价于，两边同时平方后整理得，解得或.
故选：C．
3.（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】是偶函数，的图象关于直线对称，
的图象关于直线对称，
又在上单调递减，在上单调递增．
又，，，，即，，
原不等式的解集为．故答案为：.
考向四 函数性质的综合应用---比较大小
【例4】（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可知，函数的图象关于直线对称，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以在上单调递减，又，
因为，所以，即.
故选：D.
【一隅三反】
1.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，∴函数是周期为4的周期函数，，
又因为当时，单调递增，，即．
故选：B.
2.（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
且在[0，1]上单调递减，因为，所以，
故选:B.
3.（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）（多选）定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】定义在R上的奇函数，由，得，
则，函数是周期为4的周期函数，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，
，而，
所以，C正确，ABD错误.
故选：ABD
考向五 函数4大性质的综合应用
【例5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【解析】对于A，由，得，
则，函数的周期为4，
取，则，
为偶函数，
而最小正周期为，故A错误；
对于B， 由为偶函数，得，
故，
所以函数的图象关于直线对称且关于点对称，B错误；
对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误；
对于D，由，，得，
则，函数的图象关于点对称，D正确.
故选：D
【例5-2】（2026·广西）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．3是的一个周期
D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以函数的对称中心为点，又，
所以函数的图象关于点对称，A不正确；
是偶函数，所以，所以，
即为奇函数，对称中心为，函数的另一个对称中心为点，
所以的周期为2，C不一定正确；
函数及的周期与相同，周期为2．的图象关于点对称，
，所以，函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，B正确；
因为，，故，D不正确．
故选：B.
【一隅三反】
1.（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期函数
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为函数是R上奇函数，所以，
因为函数是R上偶函数，所以，
对于，取为得：，即，
联立，可得，
所以函数关于点对称，故A正确；
对于B，对于，取为，得，
因为，所以，
由A选项知，取为，得，
联立，得，
取为，得，
取为，得，
所以，所以函数是周期为4的周期函数，故B正确；
对于C，由函数是R上奇函数可知，，
因为是R上偶函数，所以，
所以，
又因为是周期为4的周期函数，所以，故C错误；
对于D，由A选项知，所以，， ，，
由C选项知,
所以，故D正确.
故选：ABD.
2．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的一个周期 B．
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
可知函数的一个周期为，故A正确；
对于选项B：由可得，则，
即，且，
又因为，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
可得点是图象的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：例如满足题意，但在上有无数个零点，故D错误；
故选：ABC.
3.（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．是周期函数，且其中一个周期为8 D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数与的定义域均为.
由求导可得，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
由求导可得，
，
，则（为常数），
令，则有，所以，即，
所以，即函数的图象关于直线对称.
又由可得，
则有，
，
，即，
所以函数的图象关于点对称.
所以函数是周期函数，周期.证明如下：
由可得，
由上述结论可知，所以.
则，即，
又由可得，所以.
所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确；
对于A，因为，，
若，则，与矛盾.
故A错误；
对于D，由求导可得，
则有，因为，所以
则（是常数），令，可得，
所以，即函数的图象关于直线对称.
所以，函数也是周期函数，周期.
，令，可得，
根据对称性可知，，
所以.
所以，不确定是否为0，故D错误.
故选：BC.
4．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，满足，，且为奇函数，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．为偶函数 D．
【答案】AC
【解析】对于AB，因为为奇函数，所以的图象关于点对称，则．
在中，令，得．
由，得．
令，得．
因为，，
所以，所以为偶函数，，故A正确，B错误；
对于C，由为偶函数，知，
即，
所以的图象关于直线对称，故是周期为4的周期函数，
所以．
又的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以也是偶函数，故C正确；
对于D，因为，，，，
所以．
又，所以，故D错误．
故选：AC．
考向六 函数图像
【例6-1】（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除C；
，
当时，，
且，
而，即，故，
所以在的单调递增区间上，AD不满足，B满足.
故选：B
【例6-2】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数，
对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，，
所以为偶函数，不符合题意，故A错误；
对于C：定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为偶函数，不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数，
当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误；
故利用排除法可知选项B符合题意.
故选：B
【一隅三反】
1.（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先：，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD.
又，故排除B.
故选：A
2．（23-24 云南大理·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，定义域为，
，
令，得，
令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C，
当时，，，，所以，排除B，
只有D中图象符合题意；
故选：D
3.（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】由奇偶性判断可知：
是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，
而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；
再当时，可知，故A错误；
所以C正确，故选：C.
考向七 抽象函数
【例7-1】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；
对于B,令可得，所以，
即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确；
对于C,令，则由可得，
即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；
对于D,由于是偶函数，所以满足，即，
可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.
故选：ABC
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．4为函数的一个周期
【答案】ACD
【解析】根据题意，，
取，得，因为，所以，A正确;
取，得，所以，B错误;
取，得，即，
所以为偶函数，C正确;
取，得，所以，
即4为函数的一个周期，D正确.
故选：ACD.
【例7-2】（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A． B．是奇函数（ ）
C．是奇函数 D．恒成立
【答案】ACD
【解析】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确；
取，则，所以，即B错误；
因为，所以，所以，即C正确；
取，已知函数在上单调递增，则，又，
若存在，则，所以，即D正确.
故选：ACD.
【例7-3】（2025·广东深圳·三模）（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，令，则，得，
由A可知，所以，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，令，则，即.
假设的图象关于直线对称，则有，与矛盾，
所以假设不成立，的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，由于且，则有，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
考向八 函数新定义
【例8-1】（2025·山东·模拟预测）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，令得，
令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
又，，
故，
由题意得，即，
解得.
故选：A
【一隅三反】
1．（2025·云南·一模）（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，所以为 “类周期函数”，故A正确；
对于B，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故B错误；
对于C，因为，当且时， ，
所以为 “类周期函数”，故C正确；
对于D，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故D错误；
故选：AC.
2．（2025·山东·二模）（多选）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
【答案】ABD
【解析】对于A, 函数，，显然满足条件①②．
对任意，且时，．
函数在区间，上为“正方和谐函数”．故A正确.
对于B，若函数为“正方和谐函数”，
则令，，得，即，
又由对，，，故B正确；
对于C，设，则，所以
，即有，
函数在区间上不一定是单调递增，故C错误；
对于D，①当时，成立，
②当时， ，，
③当时，，，则；
显然，当时，成立；
假设当时，有成立，其中，
那么当时，，
可知对于，总有，其中，
而对于任意，存在正整数，使得，此时
综上可知，满足条件的函数对时总有成立.
故D正确，
故选：ABD
3．（2025·云南·一模）（多选）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A：
对，，恒成立.
左右平方得，化简得，显然恒成立，故A正确.
对B：对，，恒成立.
化简得显然不恒成立，故B不正确；
对于C，对，，恒成立
由在上单调递增，故，
化简可得，显然对恒成立，故C正确；
对D：，
，即，故D错误.
故选：AC.
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