资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练题组版）
题组一 函数的对称性
1.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数，
，
则有，
故函数的图象的对称中心的坐标为
故选：D .
2．（24-25山东）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以当函数图象向左平移2个单位，再向下平移一个单位，
可得函数的图象，
由反比例函数图象知，关于原点对称.
故选：C
3.（23-24湖南长沙）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设，
因为函数与函数图象关于直线对称，
所以.
故选：A
4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以函数的图象关于点对称.
故选：C
5.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】C
【解析】函数为奇函数，图象关于对称，
将函数向左平移一个单位可得函数，
则函数关于对称，
所以函数的图象关于对称.
故选：C.
6．（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意：
，
可由偶函数的图像向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为,
故选：A.
7．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度，
所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误；
因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度，
关于直线对称，不能得出的奇偶性，A，C选项错误；
对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确；
故选：D.
8．（2024·甘肃张掖·模拟预测）（多选）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，
再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；
B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，
而函数是偶函数，关于轴对称，
其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；
C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；
D：，显然，
故此函数不是关于直线对称的，故D错误.
故选：ABC.
9（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，其图象关于直线对称，
则，
所以，所以，解得，
所以，此时，满足题意；
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故选：B．
10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．图象的对称中心是
B．图象的对称中心是
C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数
D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数
【答案】AC
【解析】是奇函数，其图象的对称中心为，将的图象向右平移2个单位长度，
再向上平移1个单位长度得的图象，
因此图象的对称中心是，A正确，B错误；
若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将其图象向左平移个单位长度得的图象，
的图象关于直线，即轴对称，则为偶函数，反之也成立，C正确，D错误．
故选：AC
11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称
B．函数的图象关于某直线对称
C．函数的图象关于某点对称
D．函数的图象关于某点对称
【答案】BCD
【解析】对A，令，则，
所以函数的图象关于点对称，故A不正确；
对B，令，所以，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对C，因为，
所以的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
而函数是奇函数，图象关于原点对称，
因此函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，
所以函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位再向上平移3个单位得到，
设，则，即是奇函数，图象关于原点对称，
因此函数的图象关于点对称，故D正确．
故选：BCD．
12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ．
【答案】
【解析】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为，
可得，解得，
将其代入函数，可得，所以，
即.
故答案为：.
题组二 函数的周期性
1．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ）
A． B．1 C．0 D．3
【答案】B
【解析】的图象关于直线对称，，
又为奇函数，，，
，是以4为一个周期的周期函数，
．
故选：B.
2.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，
由函数的图象关于直线对称，
可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，
又由，得，则，
所以是周期为8的偶函数，则．
故选：B.
3．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（ ）
A． B．1 C．0 D．3
【答案】B
【解析】的函数图象向左平移个单位得到的图象，
因函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，
则
因为奇函数，则，则，
则，得，
所以是周期为4的周期函数，
则．
故选：B
4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】因为函数的图象关于直线对称，可得，
又因为函数的图象关于点对称，可得，
所以，可得，
所以函数的周期为4，
因为当时，，所以．
故选：D.
5．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题故．又，，故．
结合周期性可知，
故．
故选：C
6．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2024 B． C．2025 D．
【答案】D
【解析】因为对任意，都有，
令，得，解得，则，
即，所以函数的图象关于直线对称．
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以，
所以，所以8是函数的一个周期，
所以．
故选：D
7．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，且，，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由可得：，
所以函数的周期为，由可得函数关于对称，
所以，又，，
所以，又，，
，，
所以
故选：B.
8．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为，可得，
可知函数的一个周期为4，
又因为是定义在的奇函数，则，
则，即，
令，可得；
令，可得，即，
则，
所以.
故选：C.
9．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由，所以，所以，
所以，由有，
所以，即，所以函数的周期为6，
所以，
由，，，
令有，，
所以，所以，
令有，，即，
令有，即，，
所以，
所以，
故选：D.
10．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，
同理，由，得，
因为，所以，即，
因为，所以，
则，则，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，
由．得，所以．即，
所以．
故选：A．
题组三 函数性质的综合应用---解不等式
1．（2025广西）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：且关于成中心对称．
当时， ，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，由中心对称可得：在R上单调递增．
由得：或，解得.
故选：A．
2．（24-25 安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，所以在上单调递减，
因为，所以不等式可变为，即，
所以，即，所以不等式的解集为．
故选：D．
3．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即函数关于对称，
当时，单调递增，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
因为，所以，解得，
即的取值范围是，
故选：B.
4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，又因为定义域为关于原点对称，
所以是奇函数，
由于，
可知函数在定义域上单调递减，
所以
即，即，
则，该不等式组无解，所以解集为.
故选：D.
5．（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
则，
由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减，
由，则，即，
可得，分解因式可得，解得.
故选：A.
6．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，
所以函数为奇函数，
因为，
所以函数为增函数，
所以不等式可化为，
则，，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
7．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令函数，其定义域为R，
，函数是奇函数，
求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，
不等式，
则，解得，所以所求取值范围是.
故选：A
8．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知在上单调递增，
的导函数，当且仅当时，等号成立，
所以在上单调递增，
因此在上单调递增，
又，所以的图象关于点中心对称，
若，则，即，解得，
故选：C
9．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取时，代入，有，可得，即，所以.
设，因为，又已知时，，
那么，所以函数在上单调递增.
对不等式进行转化求解：
已知，由可得，所以.
因为函数单调递增，所以，移项得，解得.
考虑定义域限制条件：
由，解得；解得.
综合以上结果，不等式的解集为.
故选：B.
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，由于，
故为偶函数，
当时，则在单调递增，因此在单调递增，
因此在单调递减，
由可得，解得，
故选：A
11．（2025·江西·一模）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，即的图象关于点对称，
所以，而，即，
则，又在上为增函数，
故，即，
，
因在上单调递增，且，
由，可得，
即不等式的解集为.
故选：C.
12．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，令，
由于为偶函数，故只需为奇函数，
由，得，
因为，定义域关于原点对称，
，
由此可以验证为奇函数．所以满足题意，
又由为偶函数，得，
故的图象关于直线对称．
，
当时，，
可知，当时，单调递增，则时，单调递减．
原不等式即为，
等价于，即，解得．
故选：C.
13．（2025山东济宁·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，函数，
设（），
由，得从而：，
又因为，
所以是上的奇函数，即，
又有，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数；
则可得：，即，
整理得：，解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：C.
题组四 函数性质的综合应用---比较大小
1.．（2025·广西桂林·二模）函数.若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
关于对称.
当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数，
关于对称在为减函数，
，，
.
故选：A.
2．（2025河北邢台·阶段练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，恒成立，
当时，，即，
函数在上为增函数，
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，，
又函数在上为增函数，，
即，.
故选：B.
3．（2025·天津）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数，
又，，，
又，所以，由函数的图象关于直线对称，知，
又，所以，故，
故选：A．
4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的函数满足，
所以即图象关于直线对称，
所以，，
又在上单调递增，所以.
故选：A
5．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的函数满足条件，
所以函数是偶函数，
对任意，当时都有，
所以不妨设，则有，
因此时，函数是增函数，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为时，函数是增函数，
所以，即，
故选：A
6．（2025吉林松原·阶段练习）设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由定义域为，对任意的都有，知对称轴是，当时，，即函数在上单调递增，由对称性知其在上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，
故选：．
7．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，，设，，
则，，，，，
所以函数的周期为6，
故，，，．
由，则，即，
由，则，即，
所以，可得无法确定．
所以，无法判断．
综上所述，．
故选：B.
8．（2025湖南）已知函数．若为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称，
函数关于直线对称，所以，即，
，函数和在区间单调递减，在区间单调递增，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
因为，所以，即.
故选：A
题组五 函数4大性质的综合应用
1．（24-25 河南 ）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．无零点 D．在上单调递增
【答案】AB
【解析】由，且定义域为，
所以的图象关于直线对称，A对；
当时，在上单调递减，D错；
当时，在上单调递增，
又，B对；
显然，C错；
故选：AB
2．（2025高三·全国·专题练习）（）哦度设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于直线对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为为奇函数，所以，
取可得，A正确．
对于B，因为，所以，
所以．又，
故，所以函数的图象关于点对称，B错误．
对于D，因为，所以，
所以为常数．因为，
所以，
所以，取可得，所以．
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数．
因为，所以，
所以，
所以，D正确．
对于C，因为，所以
，所以，
故函数为周期为4的函数，，
所以函数为周期为4的函数，
又，
所以，
所以，C正确．
故选：ACD
3．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题得，所以即，
所以是奇函数，故，
又由得函数关于点对称，，
所以，故，
所以 ，即函数是周期为6的函数，
所以也是周期为6的函数，即，
由求导得即，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，由无法确定的值，故B错误；
对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；
对于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
4．（2025·江西）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由为奇函数，
得关于对称，且满足；
由为偶函数，
得关于直线对称，且满足.
故，
所以是周期函数，且周期.
对选项A，由，
令，解得，故A错误；
对选项B，已知当时，，
则，
故当时，.
则，故B错误；
对选项C，，，
，，且周期.
则，故C正确．
对选项D，
，故D正确．
故选：CD．
5．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称
【答案】AC
【解析】由为奇函数，得，即，
则，由为偶函数，得，则，
于是，函数是周期函数，一个周期为4，
由，得，由，得，
由，得，于是，解得，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，由，得，为偶函数，C正确；
对于D，，的图象关于点对称，D错误.
故选：AC
6．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．是周期函数，且其中一个周期为8 D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数与的定义域均为.
由求导可得，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
由求导可得，
，
，则（为常数），
令，则有，所以，即，
所以，即函数的图象关于直线对称.
又由可得，
则有，
，
，即，
所以函数的图象关于点对称.
所以函数是周期函数，周期.证明如下：
由可得，
由上述结论可知，所以.
则，即，
又由可得，所以.
所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确；
对于A，因为，，
若，则，与矛盾.
故A错误；
对于D，由求导可得，
则有，因为，所以
则（是常数），令，可得，
所以，即函数的图象关于直线对称.
所以，函数也是周期函数，周期.
，令，可得，
根据对称性可知，，
所以.
所以，不确定是否为0，故D错误.
故选：BC.
题组六 函数图像
1．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，且定义域为R，所以为奇函数，排除A、B；
，排除D.故选：C
2．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，可得的定义域为，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；
，排除C项；
当时，，排除A项.
故选：D.
3．（24-25甘肃）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记，函数的定义域是，
，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误；
当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误．
故选：B.
4．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，故的定义域为R，
，
故为奇函数，BD错误；
当趋向于时，的增长速度远大于的速度，
故趋向于0，C错误，A正确.
故选：A
5．（2025·青海海南·模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，排除C，D选项．
由，排除B选项．
故选：A.
6．（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由知，，即，所以函数定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，故排除A；
当时，，时，，
所以当，时，，排除C；
当时，符号可正可负，所以可正可负，故可排除D；
故选：B
7．（2025·江西新余·模拟预测）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，
可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.
由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令
，，令，
则，
解得(负数根舍去)，则 在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.
（注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B）
故选：B
8．（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域为
函数，是奇函数，所以排除B，C，
又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，
如0.1，得，所以排除D．
故选：A.
9．（2025江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，即函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，，则，排除C选项.
故选：D.
10（23-24河南）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数定义域为，定义域关于原点对称，
因为，，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，当时，，，故，
选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征，
故函数的部分图象大致为选项C的图象.故选：C.
题组七 抽象函数
1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（ ）
A． B．是偶函数
C．是奇函数 D．
【答案】ABD
【解析】令，得，所以或，
若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确；
令，得即，所以，所以B正确；
令，得，所以，所以，当时，，所以C错误；
因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确．
故选：ABD．
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】B
【解析】因为，
令，可得，则；
令，则，
故的图象关于点对称，
则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；
对于C，令，可得，则，
当时，，此时不可能是奇函数，
由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取，满足题意，但易知D错误；
故选：B.
3．（2025黑龙江）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又，令，则，
又由，得，
即的图象关于点成中心对称，则；
，即，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，
故，故选：D
4．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数关于直线对称
C． D．的周期为3
【答案】D
【解析】解法一：
令，，则，解得，A正确；
令，则，
所以，即是偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，B正确；
令，则，
令，则，所以，C正确；
令，则①，
所以②，
①②联立得，
所以，，即的周期为，D错误；
解法二：
构造函数，
满足，且，
，A正确；
，
因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，
所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确；
的周期，D错误；故选：D
5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
【答案】ABD
【解析】函数，对任意，，
对于A，令，得，而，则，A正确；
对于B，令，得，
则，两边求导得，，即，
因此关于对称，，B正确；
对于C，由，得，
令，得，两边求导得，
即，因此，函数是偶函数，C错误；
对于D，由，得，则，
因此函数的周期为4，，D正确.
故选：ABD
6.（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令，则，
因为，所以，则，故A错误；
对于B，令，则，则，故B正确；
对于C，令得，，所以，
令得，，则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，则，，
所以，则函数的周期为，
又，，则，，则，
所以，故D正确，故选：BCD.
题组八 函数新定义
1．（2025·河北衡水·模拟预测）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（ ）（设均为非零实数）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【解析】对于A，存在正常数，取，对任意，，
因此是的复杂函数，A是；
对于B，存在正常数，取，对任意，令，
求导得，令，
求导得，函数在上递增，
，函数在上递增，
，则，
因此，是的复杂函数，B是；
对于C，，函数在R上单调递增，值域为，
因此不存在正常数，使得成立，而，即不存在正常数，使得成立，
不是的复杂函数，C不是；
对于D，存在常数，取常数，对任意，
，
因此是的复杂函数，D是.
故选：ABD
2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误；
对于选项B：因为函数的导函数为，
所以，
而，
所以，，故选项B错误；
对于选项C：因为函数的导函数为，
所以.
令，解得：，，
即存在实数，使得成立，
所以函数具有性质，故选项C正确；
对于选项D：因为函数的导函数为，
所以.
令，显然，化简得：.
下面证明方程（*）无解.
当时，，方程（*）无解
当时，，而：
令，，
则，所以单调递减.
又因为，所以，即，所以.
综上，方程(*)无解.
所以不存在实数，使得成立，故选项D错误.
故选：C.
3．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ．
【答案】 是
【解析】在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点对应的点为，
不妨设，设点，即，，
将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，
可得，即点，
即，，
因为，可得变形可得，曲线为函数，
所以，是旋转函数；
若函数是旋转函数，将函数的图象绕着原点逆时针旋转后，
不存在与轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象个以上的交点．
故不存在直线与函数的图象有两个交点，
即对任意的，方程至多一解，即至多一解，
令为单调函数，则，
因为，故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立，合乎题意；
当时，则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意；
当时，则，此时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练题组版）
题组一 函数的对称性
1.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25山东）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（23-24湖南长沙）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
6．（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·甘肃张掖·模拟预测）（多选）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
9（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．图象的对称中心是
B．图象的对称中心是
C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数
D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数
11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称
B．函数的图象关于某直线对称
C．函数的图象关于某点对称
D．函数的图象关于某点对称
12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ．
题组二 函数的周期性
1．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ）
A． B．1 C．0 D．3
2.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（ ）
A． B．1 C．0 D．3
4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．0
5．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2024 B． C．2025 D．
7．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，且，，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
9．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
题组三 函数性质的综合应用---解不等式
1．（2025广西）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·江西·一模）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
13．（2025山东济宁·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题组四 函数性质的综合应用---比较大小
1.．（2025·广西桂林·二模）函数.若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025河北邢台·阶段练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·天津）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025吉林松原·阶段练习）设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025湖南）已知函数．若为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
题组五 函数4大性质的综合应用
1．（24-25 河南 ）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．无零点 D．在上单调递增
2．（2025高三·全国·专题练习）（）哦度设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于直线对称
C． D．
3．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·江西）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称
6．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．是周期函数，且其中一个周期为8 D．
题组六 函数图像
1．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25甘肃）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·青海海南·模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·江西新余·模拟预测）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（ ）.
A． B．
C． D．
8．（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C． D．
9．（2025江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10（23-24河南）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
题组七 抽象函数
1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（ ）
A． B．是偶函数
C．是奇函数 D．
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
3．（2025黑龙江）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数关于直线对称
C． D．的周期为3
5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
6.（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．
题组八 函数新定义
1．（2025·河北衡水·模拟预测）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（ ）（设均为非零实数）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑