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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知的定义域为，
所以可得，
因此
，
即函数满足，因此的对称中心为.
故选：B
2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】由题意函数关于直线对称，
故，即，
即，
即,
故需满足且，即，
则，
故选：B
3．（2025·天津河西·一模）已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】D
【解析】，则，即故A错误；
，故C错误；
，，则，故B错误；
，，则，故D正确.
故选择：D.
4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，故是奇函数．
不等式等价于不等式
即不等式
因为是奇函数，所以
易证是上的减函数，则，即，解得．
故选：B.
5．（2025·湖南长沙·二模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】有意义可得，
故，
所以或，
所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
令可得，，所以，故，
所以函数有且仅有一个零点，零点为，
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，
又当时，，
所以当时，，
选项A的图象不关于原点对称，选项B的图象在内的函数值为负，
选项C的图象对应的函数有三个零点，
故选项ABC不能同时满足上述所有要求，而选项D同时满足以上所有要求，
故选：D.
6．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵是奇函数，
∴，即关于点对称．
又函数的定义域为，故．
当时，
令，即，解得．
根据对称性可知当时，．
综上所述，的解集是．
故选：B．
7．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的函数满足条件，
所以函数是偶函数，
对任意，当时都有，
所以不妨设，则有，
因此时，函数是增函数，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为时，函数是增函数，
所以，即，
故选：A
8．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数关于直线对称
C． D．的周期为3
【答案】D
【解析】解法一：
令，，则，解得，A正确；
令，则，
所以，即是偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，B正确；
令，则，
令，则，所以，C正确；
令，则①，
所以②，
①②联立得，
所以，，即的周期为，D错误；
解法二：
构造函数，
满足，且，
，A正确；
，
因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，
所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确；
的周期，D错误；故选：D
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025云南）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，
再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；
B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，
而函数是偶函数，关于轴对称，
其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；
C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；
D：，显然，
故此函数不是关于直线对称的，故D错误.
故选：ABC.
10．（2025哈尔滨）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】ACD
【解析】对于A，因为的对称中心为，所以，
将变为，变形得：，故选项A正确；
对于B，由A选项知，即，
结合已知，
即，
令，得，故选项B错误；
对于C，由的对称中心为得，
则，
令，则，定义域为，
所以为奇函数，故选项C正确；
对于D，对，
令得：，
即，故，
令，定义域为，所以，
所以为偶函数，故选项D正确；
故选：ACD.
11．（2025·安徽·一模）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题得，所以即，
所以是奇函数，故，
又由得函数关于点对称，，
所以，故，
所以 ，即函数是周期为6的函数，
所以也是周期为6的函数，即，
由求导得即，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，由无法确定的值，故B错误；
对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；
对于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ．
【答案】
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，
所以函数为奇函数，故，
所以，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
13（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】设，均随着 的增大而增大，所以在为增函数，
，则,所以在为增函数，
且当分别代入、，可得，
所以在上单调递增，
令，则在上单调递增，
又.
不等式的解集为.
故答案为：.
14．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】,
则，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
即函数在上单调递增，
∴，即，∴，
即.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明在上是增函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数.
（2）设，则，
∵，∴，且，则，
则，即，所以函数在上是增函数.
（3）∵，∴，
∵是定义在上的增函数，∴，得，
所以不等式的解集为.
16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.
(1)若函数的图像过点，求的解集；
(2)求证：当时，存在使得成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）已知函数的图像过点，
所以，即，因为，所以，
则.
函数的定义域为，且在定义域上单调递增.
由可得，
解得，所以不等式的解集为.
（2）当时，，
.
若成等差数列，则，
即.
所以，
即，
即，则，移项可得.
对于一元二次方程，，
所以方程有实数解，即存在使得成等差数列.
17．（2025·上海崇明·二模）已知．
(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若且，解关于x的不等式．
【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数
(2)答案见解析
【解析】（1）存在实数，使得函数是偶函数.
要使函数有意义，须满足，即，
显然，即，函数的定义域.
当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数.
当时，，
函数的定义域为，对于任意的，都有，
并且
因此函数是一个偶函数
综上所述，存在实数，使得函数是偶函数
（2）由，得
所以且①．
由①得，.
因为且，
所以当时，，
当时，.
综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
18．（2025山西）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵是R上的奇函数，∴，∴，
∴，又，∴，
解得，∴．经验证可得为奇函数，
∴，．
（2）由（1）知，∴在上为减函数．
∵,∴，
又是奇函数，∴，
又为减函数，
∴对任意的恒成立．
∴对任意的恒成立．
令，
则,
解得.
∴实数的取值范围为．
19．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.
①对任意的，有；
②对于任意的，若，则.
求证：
(1)是型函数；
(2)型函数在上为增函数；
(3)对于型函数，有（为正整数）.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）记；
对任意的，有；
对于任意的，
若，
则，
即.
故函数是型函数.
（2）设，且，则.
因此
，
可知在上为增函数.
（3）因为，
所以
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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．（2025·天津河西·一模）已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南长沙·二模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数关于直线对称
C． D．的周期为3
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025云南）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025哈尔滨）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
11．（2025·安徽·一模）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ．
13（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明在上是增函数；
(3)解不等式.
16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中.
(1)若函数的图像过点，求的解集；
(2)求证：当时，存在使得成等差数列.
17．（2025·上海崇明·二模）已知．
(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若且，解关于x的不等式．
18．（2025山西）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.
①对任意的，有；
②对于任意的，若，则.
求证：
(1)是型函数；
(2)型函数在上为增函数；
(3)对于型函数，有（为正整数）.
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