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重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期4月定时训练数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．如图，该立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，则和的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点和点都在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
5．如图，直线，为直线外一点，是直线上一点，是直线上一点，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值应在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
7．如图所示，用黑白两种三角形地砖进行铺贴，第一个图形要2块白色地砖，第二个图形要4块白色地砖，第三个图形要6块白色地砖……则第10个图形的白色地砖数量是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
8．如图，是的直径，点C、D是圆上两点，连接、、、，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，E是正方形外一点，连接、，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，若，， 则的长是（ ）
A． B．4 C． D．
10．已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算：
12．在一个不透明的盒子里装有3个黑色小球，5个白色小球，这些球除了颜色外没有其他任何区别，从中随机抽取一个，抽到黑球的概率是 ．
13．如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则 ．
14．关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
15．如图，与线段相切于点C，点B为上一点，连接并延长交于点E，过点E作的垂线交于点F，交延长线于点G．连接交于点H，连接．若，，则的半径 ， ．
16．对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“缤纷数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．记“缤纷数”，若为完全平方数，则 ；在前面的条件下，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中
19．在学行四边形后，小明做了如下探究：在平行四边形中，E是对角线上一点，连接．请根据小明的想法和思路，完成以下作图和填空:
(1)在平行四边形的内部，用尺规作，交于点F，连接、．(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形．
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴　　 ①　　 ，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，　　 ③　　 ，
∴，
∴四边形是平行四边形．
进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是　　 ④　　 ．
20．为弘扬航天精神，科学普及航天知识，每年4月24日为“中国航天日”．我校4月“缤纷科技节”活动中开展了航天知识竞赛，现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析(所有学生的成绩均高于60分，成绩得分用x表示，共分成四组，，，)．下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：62，63，64，68，73，74，76，76，76，79，81，86，86，89，91，93，95，95，96，97．八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据为：82，83，83，82，85．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表、八年级所抽学生的竞赛成绩统计图
年级 七年级 八年级
平均数 81
中位数 80 a
众数 b 78
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：　　 ，　　 ，　　 ；
(2)根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生的航天知识竞赛成绩较好 请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)我校七年级有1100名学生、八年级有800名学生参加了此次航天知识竞赛，估计我校七、八年级参加航天知识竞赛成绩优秀的学生人数共有多少人
21．磁器口陈麻花是重庆市非物质文化遗产，以酥脆香甜闻名．某特产店的蜂蜜与椒盐两种口味麻花最为畅销．该特产店分别用2000元、2400元购进相同数量的蜂蜜麻花和椒盐麻花，已知每袋椒盐麻花的进价比每袋蜂蜜麻花的进价多2元．
(1)每袋蜂蜜麻花、椒盐麻花的进价分别是多少元？
(2)这批麻花很快都销售而空，该特产店计划再购进一批这两种口味麻花，由于五一假期将近，此时每袋椒盐麻花的进价上涨了m元，购进椒盐麻花的数量在第一次的基础上减少了袋；每袋蜂蜜麻花的进价不变，购进蜂蜜麻花的数量在第一次的基础上增加了，最终总花费和第一批一样，求m的值．
22．如图，在正方形中，边长为4，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点C时停止，同时点Q以每秒0.5个单位长度的速度从B出发，沿着方向运动，点E是射线上一动点，连接、、，的面积为4，设点P、Q的运动时间为，的面积为，的长为，
(1)请直接写出求分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的图像，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)
23．缙云山是国家级旅游景区，也是重庆“四大名山”之一．小初和小高相约去缙云山，两人同时从点A出发前往景区大门点D，点D在点A北偏东方向，由于小初中途去买水果，所以他们沿不同路线前往．小初从点A向正东方向步行500米到水果店点B，购买水果后向东北方向步行1000米到C，再往正北方向步行到达景区大门点D；小高从点A出发向北偏西方向步行至点E，再沿步行到达景区大门点D，景区大门点D在点E北偏东方向．(参考数据:
(1)求点C到景区大门D的距离(结果保留根号);
(2)小初步行速度是每分钟50米，小高步行速度是每分钟60米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达景点大门点D 请通过计算说明．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．
25．在中，．
(1)如图1，D为上一点，，，求的面积；
(2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值．
重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期4月定时训练数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D B B B C A C
1．D
【详解】解：是无理数，
故选：D．
2．B
【详解】解：此堆砌图形的主视图是：
故选B．
3．C
【详解】解：在平面直角坐标系中和是以点O为位似中心的位似图形，若位似比为，
∴和的面积比是；
故选：C
4．D
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
故选：D．
5．B
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
6．B
【详解】解：，
∵，
∴，
∴的值应在5到6之间；
故选：B
7．B
【详解】解：根据题意，第一个图形要块白色地砖，
第二个图形要块白色地砖，
第三个图形要块白色地砖，
……
以此类推，
第10个图形要块白色地砖，
故选：B．
8．C
【详解】解：连接，
∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．A
【详解】解：由旋转性质得，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴
作等边三角形，过C作延长于N，连接，
则，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
10．C
【详解】解：①由题意，当时，，，，超出范围，
则n的最大值为4，故①正确；
②当时，，可取2，1，0，有3种情况；
当时，，可取1，0，有2种情况；
当，可取0，有1种情况；
当时，可取18，19，20，有3种情况，但当时，超出范围，
∴若，则满足条件的整式有个，故②错误；
②由题意，，则，
∴，又，超出范围，
∴，，，
当时，可取9、10、11、12、13、14、15，有7种情况；
当时，可取10、11、12、13、14、15，有6种情况；
当时，可取11、12、13、14、15，有5种情况；
当时，可取12、13、14、15，有4种情况；
当时，可取13、14、15，有3种情况；
当时，可取14、15，有2种情况；
当时，可取15，有1种情况；
当时，有0种情况，
故满足条件的整式有个，故③正确；
正确的个数有2个，
故选：C．
11．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【详解】解：∵一个不透明的盒子里装有3个黑色小球，5个白色小球，
∴从中随机抽取一个，抽到黑球的概率是，
故答案为：
13．
【详解】解：∵于点D，于点E，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
如图，过作于，而，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：
14．
【详解】解：∵关于x的不等式组，
∴由①得，，
由②得，，
∵原不等式组有且只有3个整数解，
∴解集为：，整数解为，，，
∴，
解得，，
解分式方程得，，
∵分式方程得解为正整数，
∴为、、，
∵，即，
∴，
综上为、，
∵，
∴所有满足条件的整数的值之和为．
故答案为：．
15． / /
【详解】解：连接，过B作于D，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵与线段相切于点C，
∴（切割线定理，证明见最后）
∴，则，
∵，
∴，
∴为的直径，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵⊙O与线段相切于点C，
∴（切割线定理），
∴，则，
∴，
∴的半径为；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：，．
（切割线定理的证明：如图，P为外一点，是的切线，切点为C，割线与相交于A、B，连接、、，延长交于D，连接，
则，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，此结论为切割线定理）
16． 4040
【详解】解：是“缤纷数”，
，
，
，
为完全平方数，即是完全平方数，又，且a，b，c，d均为整数，
或，
时，，不合题意，故舍去，
，则，
；
当时，，
a，b，c，d互不相同，
∴①当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
②当，时，，，所以，此时是整数，；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
③当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
④当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
⑤当，时，，，所以，此时是整数，；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
⑥当，时，，，所以，此时是整数，；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
⑦当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
，，所以，此时不是整数，故舍去；
综上，最大值为，最小值为，
最大值与最小值之差为，
故答案为：，．
17．
【详解】解：
．
18．，
【详解】解：
，
当时，
原式．
19．(1)见解析
(2)见解析；菱形
【详解】（1）解：如图，、、即为所求作：
（2）证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
进一步思考：若四边形是菱形，则四边形是菱形．
理由：连接，
同理可证四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形．
20．(1)，，；
(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析
(3)570人
【详解】（1）解：根据七年级学生竞赛成绩可知：76出现次数最多，则众数，
八年级竞赛成绩中A组：（人），
B组：（人），
C组：5人，所占百分比为，
D组：（人），所占百分比为，则，
∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数，
∴中位数，
故答案为：，，；
（2）解：八年级学生竞赛成绩较好，
理由：八年级的中位数和众数都高于七年级的中位数和众数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）解：（人），
答：估计我校七、八年级参加航天知识竞赛成绩优秀的学生人数共有570人．
21．(1)每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元；
(2)的值为1．
【详解】（1）解：设每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元，
，
解得，
经检验是方程的解且符合题意，
∴，
答：每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元；
（2）第一次椒盐麻花（袋），第一次蜂蜜麻花袋，
根据题意可得，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
答：的值为1．
22．(1)，
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：当时，点P在上，；
当时，，
∴；
由图可知，，
∴；
（2）解：函数和的图像如图所示：
由图可知，函数的性质有：当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大；
（3）解：由图可知，两个函数的交点横坐标约为5.4，
∴当时x的取值范围为．
23．(1)米
(2)小初先到；理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长，交于点，则，
由题意可得：，，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
（2）解：如图，由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴小高花的时间为：（分钟）；
∵，，
∴，
∴小初花的时间为：
（分钟）；
∴小初先到.
24．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴抛物线的解析式为，
将代入，
得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，延长，交延长线于点，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设，
∵轴，
则，，
∴，，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，
此时，
此时点位置如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，
过点作轴，过点作轴，与交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
∴，即，
由平移的性质得，
∴，
如图，过点作轴，过点作于，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：如图，过点作轴于点，
则，，
∴，
∴，
同（2）中的平移方法可得沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
∴得到新抛物线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，，
作点关于轴的对称点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点在上方时，如图，此时点为点，设交轴于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
得：，
解得：，，
∴的横坐标为；
当点在下方时，如图，此时点为点，
易知，
过点作直线的平行线，交直线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
得：，
解得：，，
∴的横坐标为；
综上所述，的横坐标为或．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：如图1，过B作延长线于E，
∵，，
∴，
∵，
∴,
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（2）解：．
理由：如图2，延长交于H，在射线上截取，连接，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3，以为直角边作等腰三角形，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由旋转和折叠性质得，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，当F、C、G共线时取等号，
∴的最小值为．

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