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江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级下学期质量检测一数学试题（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
4．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　)
A．和3 B．和5 C．和3 D．和4
5．已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
7．如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点A，点，则下列结论：①；②；③当时，；④（的实数）⑤若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有 ．
二、填空题
8．当 时，是二次函数．
9．已知点A（a，b）绕着（0，1）旋转180°得到B（4，﹣1），则A点坐标为 ．
10．如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ．
11．已知抛物线（a，k，c均为常数，），且与x轴的交点为和，则方程的根为 ．
12．已知实数满足，，则的值为
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值．
嘉佳的解题过程如下：
【解】，
，
整理，得，
解得．
嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程．
15．在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
(1)求的长度．
(2)求的面积．
16．已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，求m的值．
17．探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分：
我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分：
(1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形
(2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹）
18．将抛物线： 绕点旋转得到抛物线，若抛物线的顶点在抛物线上，同时抛物线的顶点在抛物线上，求抛物线的解析式．
19．某网商平台国庆期间从某公司以元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆元的价格售出，第一天销售了盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了盆．
(1)求第二、三两天每天销售量的平均增长率．
(2)国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出盆，降价多少元时，每天可获得的利润为元？
20．2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决赛结束，中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥运会第7金．跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的过程中，她到水面的垂直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系．
(1)如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离与到水面的垂直高度的几组数据记录如下：
水平距离 0 3 3.5 4 4.5
垂直高度 10 10 10 6.25
①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______；
②直接写出该函数的解析式______；
(2)某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度与水平距离近似满足函数关系，记她的入水点的水平距离为．若运动员甲的入水点的水平距离为，则______；（填“>”“=”或“<”）
(3)在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点开始计时，若点到水面的垂直高度为，则她到水面的垂直高度与时间之间近似满足，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？
21．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点：已知关于x的一元二次方程为
(1)求衍生点M的轨迹的解析式；
(2)直线与x轴交于点A，直线过点，且，与相交于点，若衍生点M在的内部，求m的取值范围；
22．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在中，，，点D在线段上，点E在射线上，．
【探究发现】
（1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论；
【类比迁移】
（2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积．
《江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级下学期质量检测一数学试题（A卷）》参考答案
1．A
解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
解：A、2次项系数可能为0，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有一个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，等号两边都是整式，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
3．D
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
4．B
解：因为抛物线经过点、
所以方程的解为，，
∵整理变形为，
∴或，
解得或
所以一元二方程的解为，．
故选：B．
5．C
解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意．
B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意．
C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意．
D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．A
解：由题意得：点、、、、、、，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标是．
故选：A．
7．①③④
解：∵图象开口向下，与y轴正半轴相交，
∴，，
∵图象的对称轴为直线，
∴，则，
∴，故①正确；
∵函数图象与轴交于点，
∴，故②不正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线，点，
∴图象与轴另一个交点A的坐标为，
由图象得：当时，，故③正确；
∵图象的对称轴为直线，
∴当时，y取得最大值，
∴（的实数），
即（的实数），故④正确；
∵，
∴点B离对称轴比点C远一点，
∴，故⑤不正确；
综上，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
8．
解：由题意，得，，
解得，
即当时，是二次函数，
故答案为：．
9．（﹣4，3）
∵点A(a,b) 绕着（0，1）旋转180°得到B（4，﹣1），
∴点(0, 1)为AB的中点，
∴0=,1=，解得a=﹣4，b=3，
∴A点坐标为（﹣4，3）.
故答案为（﹣4，3）.
10．/
解：如图，连接，，
正方形绕点顺时针旋转到正方形，，
点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点，
在中，，
，，
，
，
，
的面积，
的面积正方形的面积，
阴影部分的面积的面积的面积
11．
解：根据题意由向左平移2个单位得到，
∵抛物线与x轴的交点为和，
∴与x轴的交点为和即和，
∴方程的根为．
故答案为：．
12．
解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
13．(1)，；
(2) ，；
（1）解：原方程因式分解得，
，
即：，，
解得：，；
（2）解：原方程因式分解得，
，
即：，，
解得 ，；
14．的值为．
解：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件．正确的解题过程如下：
根据题意得，解得．
，，
整理得，解得（舍去），
的值为．
15．(1)
(2)
（1）解∵是旋转得到的，，，
∴，，，，
∴是等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理可得：
，
∴；
（2）解：∵，
由（1）可知，，，，是等腰直角三角形， ，
∴，
∴，
∴．
16．m的值为－或.
y＝x2－2mx＝(x－m)2－m2，
①若m＜－1，当x＝－1时，y＝1＋2m＝－2，解得m＝－；
②若m＞2，当x＝2时，y＝4－4m＝－2，解得m＝＜2(舍去)，
③若－1≤m≤2，当x＝m时，y＝－m2＝－2，解得m＝或m＝－ (舍去)，
∴m的值为－或.
17．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求；
（2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求．
18．
或
解：由题意得抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线顶点的对应点为抛物线顶点，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的顶点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线C2的解析式为或．
当抛物线C2的解析式为-时，顶点坐标为，在抛物线的图象上，
当抛物线C2的解析式为-时，点坐标为，在抛物线的图象上，
综上所述，抛物线C2的解析式为或．
19．(1)
(2)元
（1）解：设第二、三两天每天销售量的平均增长率为，
根据题意，得：，
解得：，（舍去），
答：第二、三两天每天销售量的平均增长率为；
（2）设每盆降价元，
根据题意，得：，
整理得：，
解得：，，
∵为了尽快减少库存，
∴降价越多，则库存减少的速度最快，
∴降价元可以尽快减少库存且每天可获得的利润为元．
20．(1)直线，；
(2)<；
(3)她不能成功完成此动作，见解析．
（1）解：由表格可知，图象过点，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：直线，；
（2）解：∵，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴米；
∵，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴，
∴，
故答案为：<；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴她不能成功完成此动作．
21．(1)
(2)
（1）解：，
∴，
解得：，，
∴，
∴方程的衍生点为．
∴，
∴，
整理得：；
∴衍生点M的轨迹的解析式为；
（2）解：如图，∵直线与x轴交于点A，
∴，
由（1）得， ，
∴点M在直线上，刚好和的边交于点，
令，则，
∴，
∵点M在的内部，
∴；
∴；
；
22．(1)
(2)时，有最大值，最大值为，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或或
（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且,设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
23．（1）（2）（1）中的结论成立，（3）
（1）．
证明：如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，
，
在和中，
在中，由勾股定理知：，
（2）（1）中的结论仍成立．
理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接，
由（1）可知：，
（3）∵，
∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，
，
如图，过A作，
则
的边上的高

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