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2024-2025学年天津五十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.在平行四边形中，( )
A. B. C. D.
3.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. 或 B. C. D.
5.如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图图中虚线分别与轴垂直，轴平行，则原图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
7.半径为的球内有一个高为的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
9.已知四边形是边长为的菱形，，，分别是，上的点不含端点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设复数，则 ______．
11.若非零向量、满足，且，则与的夹角为______．
12.如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到平面的距离为______．
13.设点，，若点在直线上，且满足，则点的坐标为______．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，
若，则 ______．
15.如图，平面，且，，
则异面直线与所成的角的正切值等于______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知复数若复数为纯虚数，求的值；
已知复数，若，求实数，的值．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
求角；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图一个圆锥的底面半径为，高为，在圆锥中有一个底面半径为的内接圆柱．
求此圆锥的表面积与体积；
试用表示圆柱的高；
当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
19.本小题分
如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
20.本小题分
在边长为的等边中，为边上一点，且．
若为内部一点不包括边界，求的取值范围；
若上一点满足，过作直线分别交，于，两点，设，，的面积为，四边形的面积为，且，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.解：因为，
所以，
又因为复数为纯虚数，所以，解得；
因为，
所以，
因为，且，
所以，所以，解得．
17.解：由，
可得，即，
可得，
由，可得；
，，
，
，
，
又
，
．
18.解：由，，得，
，，
故，
；
如图，由三角形相似可得，得，；
记圆柱的全面积为．
则．
，当时，．
答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积是．
19.证明：连接，
在中，和分别是和的中点，，
又平面，平面，
平面．
证明：，为中点，，
平面，，平面，
又平面，
，
又，，平面，平面；
解：取中点和中点，连接，，，
和分别为和的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
即为直线与平面所成角，
在中，，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，，
因为，
，
即直线与平面所成角的大小为．
20.解：取的中点，连接，则，
因为，
可得，
又因为，即，
所以，
故的取值范围为；
由题意可得：，
，
则，
若，即，可得，
因为，所以，
因为，所以，
又因为，，三点共线，则，且，
可得，
因为不共线，
所以由平面向量基本定理得：，即，
可得，即，
所以，
当，即时，实数有最大值．
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