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2024-2025学年福建省泉州市晋江市毓英中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.在中，若非零向量与满足，，则为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 等腰直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
7.在中，点是上一点，且为靠近点的三等分点，是中点，与交点为，又，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
10.函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11.如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 对任意，不成立
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______．
13.复数满足，则的最大值为______．
14.在三角形中，已知，，，为三角形外接圆上一点按逆时针方向排列，则四边形面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
若是纯虚数，求实数的值．
16.本小题分
在中，，若．
求面积的最大值；
求周长的取值范围．
17.本小题分
已知向量，函数．
求的最小正周期；
求函数在的单调增区间；
求函数在的值域．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，为边上的一点，，且_____，求的面积．
从下面，两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答．
是的平分线；
为线段的中点．
若为锐角三角形，，求边上的高取值范围．
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：，试求解下列问题．
已知向量满足，求的值；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，求的最小值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：复数，，
则，
复数对应的点在实轴上，
则，解得，
故；
为纯虚数，
则，解得．
16.解：因为，利用正弦定理，可得：
，
所以，
因为为的内角，所以，所以，
又，所以，
在中，，
由余弦定理：，
因为，当且仅当时取““，
所以，
所以，
所以当为等边三角形时，面积取得最大值为；
，且，
当且仅当时取“”，
所以，
所以，
所以周长的取值范围为：．
17.解：依题意，，
则
，
故最小正周期；
因为，则，
结合正弦函数图象，令，得，
所以的单调增区间为；
由知，，
结合正弦函数图象，得，
则，
所以在的值域为．
18.解：因为在中，，
所以由正弦定理可得：，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，又因为，所以；
选：由平分得：，
所以，即，
在中，由余弦定理得：，即，
联立，得，解得，
所以；
选：因为为线段的中点，所以，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得：，即，
联立，得，
所以．
由正弦定理得：，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以当，即时，取到最大值，
当或，即或时，，
因此，
所以三角形的面积为，
设边上的高为，则．
19.解：设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：，
已知向量满足，
由已知，得，
设的夹角为，根据平面向量数量积公式可得，
可得，即，
又，所以，
根据向量新定义计算可得；
在平面直角坐标系中，已知点，，，
设，根据向量模长公式可得，，
设的夹角为，根据两向量夹角公式可得，
，
所以，
又，
所以；
已知向量，
由得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
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