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2024-2025学年山东省青岛五十八中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.的值是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数这个函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
4.三个数，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁、戊人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为( )
A. B. C. D.
6.集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高单位：
体重单位：
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知随机变量的分布列如表
若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，且，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若，则
10.设函数，则( )
A. 是的极大值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
11.若，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.设，则 ______．
14.若，定义关于的函数，当取得最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为若该质点每次移动一个单位长度，记经过次移动后，该质点位于的位置．
当时，求；
当时，求随机变量的分布列及数学期望．
16.本小题分
已知函数．
若，求函数过点的切线方程；
证明：当时，．
17.本小题分
中国在第届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取年之前实现碳中和简称“双碳目标”，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．
求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表：
购买非电动车 购买电动车 总计
男性
女性
总计
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与性别有关；
在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：线性回归方程：，其中
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．
，其中．
附表：
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ设过点且与曲线过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线若曲线在点处的法线与直线平行，求实数的值；
Ⅱ当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值；
Ⅲ若存在两个不同的极值点，，且，求实数取值范围．
19.本小题分
在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功．
在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作．
盒一
盒二
盒三
盒四
盒五
盒六
请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度；
若取中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
研发人员计划按照下图结构优化系统，位置上的部件中至少有一个能正常工作并且位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，质点所能到达的位置必满足，且为偶数，
若“”，
此时表示四次移动中向右次，向左次，
则；
当时，质点所能到达的位置必满足，且为奇数，
可得的所有可能取值为，，，，，，
所以，，
，，
，，
则的分布列为：
故E．
16.解：若，则，，
设过点的切线方程的切点为，
则，切线方程为，
代入点得，解得，
故切线方程为；
证明：当时，，
则，
令得，令，得，
所以，
设，则，
令，得，令，得，
所以，
所以，即．
17.解：由题可得，相关系数为
，
故与线性相关较强；
零假设为购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，
由题可得，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于；
抽样比为，所以男性车主选取人，女性车主选取人，
则的可能取值为，，，
故，，，
所以的分布列为：
故．
18.解：Ⅰ由，得，
则，又由直线的斜率为，
根据题意可知：．
Ⅱ当时，不等式可化为，
变形为，
同构函数，求导得，
所以在上是增函数，而原不等式可化为，
根据单调性可得：，，
再构造，则，，
当时，，则上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的，
所以的最小值为；
Ⅲ因为存在两个不同的极值点，，，
所以由可得：，，
因为，而的对称轴是，所以可得，
根据对称性可得另一个零点，此时有，
故，
又由可得，
而，
令，，
则，
因为，所以，即，，
则，
即在区间上单调递减，
所，
即，
所以实数取值范围．
19.解：甲型部件的总数为，
表格统计指标在的甲型部件个数为，
故甲型部件的可靠度；
又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，
故乙型部件的可靠度为，
设事件表示“系统试验成功”，事件表示“两个甲型部件同时工作”，
设事件表示“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”，
则，
设事件表示“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”，
则，
设事件表示“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”，
则，
，
，
；
设事件表示“位置上的部件能够正常工作”，事件表示“位置上的部件能够正常工作”，
安排四个部件共有两种方案：
第一种方案：位置上的部件相同都为甲型部件或都为乙型部件，
位置上的部件唯一确定，则这种方案正常工作的概率为：
，
第二种方案：位置上的部件为一个甲型部件和一个乙型部件，
位置上的部件唯一确定，则这种方案正常工作的概率为：
，
由，故选择第二种方案．
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