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2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点是正三角形的中心，则向量，，是( )
A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量
2.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3.若，在方向上的数量投影是，则为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若函数在有个不同零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若复数为虚数单位的实部和虚部相等，则实数的值为______．
6.若，，则 ______．
7.函数的最小正周期为______．
8.不等式的解集为______．
9.已知，则______．
10.如果，且是第三象限的角，那么______．
11.已知，则______．
12.一个人骑自行车由地出发向东骑行了到达地，由地向南东方向骑行了到达地，从地向北偏东骑行了到达地，则，两地的距离是______．
13.已知函数，若在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______．
14.复数满足，则 ______．
15.已知，，是半径为的圆上的三点，为圆的直径，为圆内一点含圆周，则的取值范围为______．
16.若存在实数，使函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．
求复数；
若对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，其中．
是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，，已知，，．
求的面积；
函数，求函数的严格增区间．
20.本小题分
如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．
设，将用、、表示；
设，，问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
在的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围．
21.本小题分
若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数；
若为区间的方正函数，求实数的值；
是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由；
设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，，使得，均为上的方正函数．
参考答案
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15.
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17.解：设，
由为实数，可得，则．
又为实数，则，
得，；
，
，
而对应的点在第四象限，
，解得或．
故的取值范围为．
18.解：函数定义域为，
若是奇函数，则，
解得，此时，
，符合题意，
故．
当时，，
由，可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，所以，
所以实数的取值范围为．
19.解：因为，由正弦定理可得，
又因为，，，则，，
可得，即，则，
所以的面积；
由可得
，
因为，则，且，
令，解得，
所以函数的严格增区间为．
20.解：；
，理由如下：
因为点是重心，
所以，
又由可知，又，，
所以，
而，不共线，所以，解得，
所以；
，
由知，
所以，
由题意易知，，则，
设，则，，
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
当时，即，，有最小值，最小值为，
时，即，，，当时，即，，，
所以的最大值为，
所以．
21.解：因为，函数图象开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递增，
由题意，为区间的方正函数，
所以当时，；
当时，，解得或舍去．
因此，若为区间的方正函数，则实数的值为；
对函数，
因为．
所以为奇函数，图象关于原点对称，
又当时，．
所以函数在上单调递减，
由图象对称性可知，函数在上单调递减，
如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数，
则，即，又，
显然，所以，，所以，即，
解得，这与矛盾．
故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数；
当时，，．
若，则在上单调递增，在上单调递减，
由函数是上的方正函数，则，解得，
此时，也为上的方正函数；
若，则，不满足题意；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
由函数是上的方正函数，则，解得，
此时，也为上的方正函数；
故当时，存在实数，，使得，均为上的方正函数；
当时，函数图象开口向上，且对称轴为，
若，即，函数在上单调递增，由方正函数的概念，可知，
即，解得，所以由，解得，
此时，图象开口向下，对称轴为，
由，则函数在上单调递减，且，，
所以在上的值域为，故也是上的方正函数．
即当时，存在实数，，使得，均为上的方正函数．
若，即，
由，则由方正函数概念，，且．
又由，，
可知，，且也是方正函数，则，且，
故．
所以联立，解得，不满足条件，故此时无解；
若即，
由，则由方正函数概念，
，且．
与同理可得，，
所以联立，解得，
不满足条件，故此时无解；
若，即，函数在上单调递减，
由方正函数的概念，可知，即，
解得，所以，解得，
此时，抛物线的对称轴为，
由，可知函数在上单调递增，
且，，
所以在上的值域为，故也是上的方正函数．
即当时，还存在实数，，使得，均为上的方正函数．
综上所述，当非负实数的取值范围为时，存在实数，，使得，均为上的方正函数．
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