资源简介

2024-2025学年北京市某中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，前项和为，，，则公差( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A. B. C. D.
4.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是( )
在区间上是增函数；
是的极小值点；
在区间上是增函数，在区间上是减函数；
是的极大值点．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在定义域上只有一个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.等比数列的公比为，前项和为设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是( )
A. ，
B. 一定存在极小值点
C. 若，则是函数的极小值点
D. 若，则
10.已知数列满足，，给出下列三个结论：
不存在，使得数列单调递减；
对任意的，不等式对所有的恒成立；
当时，存在常数，使得对所有的都成立．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.由，，，，组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有______个用数字作答
12.设函数，已知直线为曲线的一条切线，且直线的斜率为，则直线的方程为______．
13.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则 ，数列的前项和的最小值是 ．
14.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的个诸侯分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．
15.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是______．
函数有个不动点；
函数至多有两个不动点；
若函数没有不动点，则方程无实根；
设函数为自然对数的底数，若曲线上存在点使成立，则的取值范围是．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
证明：是等比数列，并求的通项公式；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
设函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ当时，求的最大值与最小值．
18.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，且．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
若函数．
求曲线在点处的切线的方程；
判断方程解的个数，并说明理由；
当，设，求的单调区间．
20.本小题分
已知函数，且．
求；
设，证明：存在唯一的极大值点，且．
21.本小题分
已知是无穷数列，给出两个性质：
对于中任意两项，，在中都存在一项，使得．
对于中任意一项，在中都存在两项，，，使得．
若，判断是否满足性质，说明理由：
若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；
若是单调递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，，
，即；
，，
，，常数，
又，也成立，
是以为首项，为公比的等比数列，
．
，
对恒成立，
即对恒成立，
令，，
当时，，当时，，
，故，
即的取值范围为．
17.解：Ⅰ定义域为，，
或，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，；
Ⅱ由Ⅰ知在上单调递减，在上单调递增，
故，由，故．
18.解：，
，
又，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
当时，，
当时，，满足上式，
数列的通项公式为；
由可知，，
，
当时，．
19.解：由于导函数，因此，又因为，因此切线方程为．
有两个解．
根据第一问可得，函数在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
当时，，当时，，因此与函数有两个焦点，
所以方程有两个解．
函数，
当时，导函数，函数在上单调递增；
当时，，因此时，导函数，函数单调递减，
和时，导函数，函数单调递增；
当时，，因此时，导函数，函数单调递减，
和时，导函数，函数单调递增；
综上所述：当时，的单调增区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和．
20.解：函数，，，
，
时，，函数在上单调递减，
而，时，，不满足题意，舍去．
时，，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值，而，
因此必然有，解得．
证明：函数，
，
，，
，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
时，；时，函数取得极小值，；时，．
，使得，即．
且函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
为函数的唯一极大值点，
且．
因此存在唯一的极大值点，且．
21.解：取，，
由，，，不是的次幂，故不存在一项，使得．
则不满足性质．
数列同时满足性质和性质．
证明：对性质：．
，
取，具有性质；
对性质：
，，，
只需，取，满足，
具有性质，
则数列同时满足性质和性质；
先证明．
性质：对于中任意一项，在中都存在两项，，，使得．
可取，此时，
由数列的单调递增可知，
而，故，
此时必有，，即，
所以，，，成等差数列．
下面用数学归纳法证明数列为等差数列．
假设数列的前项成等差数列，不妨设，，
因为数列递增，所以．
由可得：存在整数，满足，
且
由得：存在，满足：，
由数列的单调递增可知：，
由，可得：
，
由和式可得：，
结合数列的单调递增有：，
注意到，，均为整数，故，
代入式，从而．
综上可得，数列的通项公式为：．
即数列为等差数列．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑