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2024-2025学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是定义域为的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.从，，，这四个数中任取两个相减，可以得到不相等的差的个数为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.的展开式中系数最大的是( )
A. 的系数 B. 的系数 C. 的系数 D. 的系数
8.若函数与函数的图象有公共切线，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的个交汇处在棋盘，处的甲、乙两个质点分别要到，处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有( )
A. 甲从到达处的走法种数为
B. 甲从必须经过到达处的走法种数为
C. 甲、乙能在处相遇的走法种数为
D. 甲、乙能相遇的走法种数为
11.已知，，，则下列大小关系中正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数，，若，则的最小值为______．
14.目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下：本题共小题，每小题分，满分分；每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得分，有选错的得分；部分选对得部分分已知在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，他的多选题的总得分相同总分只记录一次共有种情况，则除以的余数是______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
用，，，，组成无重复数字的五位数．
偶数共有多少个？
比大的偶数共有多少个？
，相邻的偶数共有多少个？
17.本小题分
已知，二项式展开式中第项与第项的二项式系数相等，且展开式中的常数项是．
求展开式的第项；
设展开式中的所有项的系数之和为，所有项的二项式系数之和为，求．
18.本小题分
已知函数．
证明：当时，；
函数，记为函数的极大值点，求证：．
19.本小题分
已知函数，．
当时，函数的最小值为，求实数的值；
当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．
20.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若“，，，”为真命题，求实数取值范围．
参考答案
1.
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15.解：因为，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
，定义域为，
，
令，可得或，
，随的变化情况列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的极大值为，
极小值为．
16.解：个位为时，有个，
个位为时，有个，
个位为时，有个，
综上所述，偶数共有个；
万位为时，有个，
万位为时，有个，
综上所述，比大的偶数共有个；
，捆绑在一起，作为一个元素，
个位为时，有个，
个位为时，有个，
个位为时，有个，
综上所述，，相邻的偶数共有个．
17.解：因为二项式展开式中第项与第项的二项式系数相等，
所以，即，
所以二项式的通项为，
令，即，
所以展开式中的常数项是，
又，所以解得，
所以展开式的第项为；
由可知，二项式为，
令得，展开式中的所有项的系数之和，
又因为所有项的二项式系数之和，
所以．
18.证明：令，
则，
在上单调递增，又，
当时，，即．
，则，
令，则，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
在处取得极大值，
又，，
有个零点，，
即有个零点，，
且函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
是函数的一个极大值点，则，
则，，
又，
，
此时，
．
19.解：因为，
所以，
由，得，当变化时，和的变化情况如下：
递减 极小值 递增
故的单调减区间为；单调增区间为．
当，即时，在上单调递增，
故在上的最小值为，即舍；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为，则；
当，即时，在上单调递减，
故在上的最小值为，解得，
综上，；
函数有且仅有一个零点，理由如下：
由，得方程，
显然为此方程的一个实数解，所以是函数的一个零点，
当时，方程可化简为，
设函数，则，
令，得，当变化时，和的变化情况如下：
递减 极小值 递增
即的单调增区间为；单调减区间为，
所以的最小值，
故此时没有根，
所以的零点个数为个．
20.解：的定义域为，
，
令，则，
若，即时，，，是减函数．
若，即或时，设的两根为，，
，，
时，，由，即，得，
由，即，得或．
时，，由，即，得，
由，即，得．
综上，当时，的递减区间为和，
递增区间为；
当时，的递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为．
不妨设，则由，
得，即，
令，为上的减函数．
即当时，恒成立．又，，
即，，，
的取值范围为．
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