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2024-2025学年北京大学附中元培学院高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，，
D. ，，，
2.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
6.在中，内角、、所对的边分别为、、，若：：：：，则：：( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是( )
A. B. C. D.
10.若函数的两个零点分别为和，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数满足，则的虚部是______．
12.已知向量，，则的最小值是______．
13.若，则的最小值为______．
14.在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为______．
15.在中，，，以下有关于的个命题．
；
；
在方向上的投影向量为；
若，则．
写出全部真命题的序号：______．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知复数为虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，且满足为的共轭复数．
求实数的值；
若复数是关于的方程，且，的一个复数根，求的值．
17.本小题分
已知向量，满足，，且，的夹角为．
求；
求在上的投影向量；
若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调递增区间；
Ⅱ若函数的零点为，求．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，．
求四边形的周长；
求四边形的面积．
20.本小题分
如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
Ⅰ求曲线段的解析式和的大小；
Ⅱ若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
21.本小题分
，其中，称为非零复数的三角形式．
已知，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和．
Ⅱ已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
Ⅲ已知是个复数，，；当时，，求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.解：复数为虚数单位，
在复平面上对应的点在第四象限，且满足，
，且，
解得．
复数是关于的方程，且，的一个复数根，
则是关于的方程，且，的另一个复数根，
，解得，，
．
17.解：已知向量，满足，，且，的夹角为．
则，
则
；
在上的投影向量为；
若向量与向量的夹角为钝角，
则且量与向量不共线，
则，
即，
即，
设，
则，
则向量与向量的夹角为钝角时，实数的取值范围为．
18.解：，
，，
解得，，
所以的单调递增区间为，；
因为函数的零点为，
所以，
因为，
所以．
19.解：由，，可得，
在中，．
所以在中，，
即，整理得，解得舍负．
所以四边形的周长．
根据，，可得，
所以．
由，，可得，
所以，
可得四边形的面积．
20.解：Ⅰ由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为．
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以．
Ⅱ由Ⅰ可知，，且，
则，
可得，
则矩形的面积为
，
又因为，则，
可知当，即时，，
所以矩形取得最大值．
21.解：因为，其中，，当时，对应点，
当时，，对应点，
当时，，对应点．
因为两点和的距离平方为，
故，的距离为，
，的距离为，
，的距离为，
所以三条边的平方和：；
因为，所以复数对应的所有点都在单位圆上，所以，
所以两点和的距离平方为：
，
所有点对的平方和为：
，
因为，，
所以．
因为，所以，所以，
即，
所以，
当四个点在单位圆上均匀分布如正方形顶点，，此时达到最大值：；
类似，所有点对的平方和为：
，
利用向量和的性质：
，
所以
，当个点均匀分布正边形，，
此时达到最大值，．
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