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2024-2025学年北京市海淀区育英学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且与直线平行的直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
4.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知直线：和圆：，则直线与圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
6.设在处可导，且，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为，则“”是“有唯一的最大值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点
B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点
D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
10.已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知，则 ______．
12.已知，，是公比不为的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______．
13.已知双曲线的左焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为 ．
14.数列中，若存在，使得“且”成立，，则称为的一个峰值若，则的峰值为______；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为______．
15.已知数列满足，，给出下列四个结论：
数列的前项和；
数列的每一项都满足；
数列的每一项都满足；
存在，使得成立．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间和极值．
若对恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的焦距和长半轴长都为。过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点。
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，。求证：以为直径的圆恒过点。
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若，求证：当时，；
Ⅲ若函数有个不同的零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，，答案不唯一
13.
14.
15.
16.解：因为，
则，
合，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为．
由可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，故当时，，
因为，对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是．
17.证明：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
由于，平面，
所以平面；
解：直线与平面所成角为，
，则．
18.解：Ⅰ由焦距和长半轴长都为，可得，，，
则椭圆方程为；
Ⅱ证明：，，直线的方程为，
联立椭圆方程可得，
直线过椭圆的焦点，显然直线与椭圆相交．设，，
则，，直线的方程为，
可令，得，即，
同理可得，所以，，
又
．
所以以为直径的圆恒过点．
19.解：Ⅰ当时，，所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
Ⅱ证明：因为，
所以，，
设函数，
当时，因为，
所以对任意的恒成立，即，
所以函数在区间上单调递增，
所以，
所以当且时，；
Ⅲ因为，
当时，，函数在区间上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；
当时，由Ⅱ可知函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，对于函数，
因为，所以方程有两个实数根，，
所以，，
不妨设，则，
所以、的变化情况如下：
，
增 极大值 减 极小值 增
所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是，
因为，所以为的一个零点，
又，且，
所以存在唯一实数，使得，
又，，且，
所以存在唯一实数，使得，
所以函数有个不同的零点，
综上可得的取值范围为
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