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2024-2025学年广东省广州二中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.若平面向量，，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.在中，角，，的对边分别是，，，且：：：：，则的形状是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则( )
A. B.
C. D.
6.已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知实数，为函数的两个零点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数在区间上单调，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 为纯虚数
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.下列说法正确的是( )
A. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
B. 正方体中，直线与是异面直线
C. 用斜二测画法画水平放置的边长为的正三角形，它的直观图的面积是
D. 在平面外，其三边所在直线分别和交于，，，则，，一定共线
11.如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为：，周长之和为，则该圆台的高为______．
13.若且，已知是上的单调函数，则实数的取值范围为______．
14.“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”该不等式指出，若，，是的三个内角，则对任意实数，，，有：，不等式的取等条件为：存在实数，使得，，根据以上材料，在中，的最大值为______，此时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在高为的正三棱柱中，，是棱上的点．
求该正三棱柱的表面积，以及三棱锥的体积；
设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？
16.本小题分
如图，，是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点南偏东的处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于点正西方向且与点相距海里的处的救援船立即前往营救，其航行速度为海里时．
求，两点间的距离；
该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达处需要多长时间？参考数据：，角度精确到
17.本小题分
在平行四边形中，，，，是线段的中点，，．
若，与交于点，，求的值；
求的最小值．
18.本小题分
已知函数，对，有．
求的值及的单调递增区间；
在中，已知，，其面积为，求内角的角平分线的长度；
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数的定义域为，对于区间，，若满足，恒有，，则称函数在区间上的增长系数为例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．
求函数，在上的增长系数；
若和都是函数在上的增长系数，求的取值范围；
若函数，，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围．
参考答案
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15.
16.解：依题意得，，，
所以，
在中，由正弦定理得，
，
又，
故海里，
所以求，两点间的距离为海里．
依题意得，，
在中，由余弦定理得，
所以海里，
所以救搜船到达处需要的时间为小时，
在中，由余弦定理得 ，
因为，，
所以，
所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东
17.解：当时，为的中点，可得，
若，则，
因为是的中点，所以，结合，得，
由，得，将组成方程组，解得，，所以；
根据题意，可得，
由，得，可得，
由，得，
所以
，
根据二次函数的性质，当时，的最小值为．
18.

19.
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