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2024-2025学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为正整数，则乘积( )
A. B. C. D.
2.设函数可导，则等于( )
A. B. C. D.
3.函数是上的单调函数，则的范围是( )
A. B. C. D.
4.函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.若函数，则( )
A. B. C. D.
6.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.可与曲线和的公切线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，求导正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.我国南宋数学家杨辉在约年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究推广，杨辉三角可以由组合数来表示则下列结论正确的是( )
A. 第行、第行、第行的第个数之和为第行的第个数
B.
C. 第行的第个数最大
D. 第行中从左到右第个数与第个数之比为：
11.已知，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. 对于任意满足
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.的展开式中，的系数为______．
14.若对任意，，当时，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若在区间上为增函数，求的取值范围；
若的单调递减区间为，求的值．
16.本小题分
已知，求解：
；
；
；
．
17.本小题分
设，．
当时，求的极值；
讨论函数的单调性．
18.本小题分
请在以下两个组合恒等式中选择一个证明如果两个都选，则按第个计分；
，
．
某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班名同学中选取人组成班委团队，并选举人担任班长，共有多少种不同的选举方法？一方面，可以首先从名同学中选取人组成班委团队，再从人中选取人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从名同学中选取人做班长，再在余下的名同学中选取人做其余的班委，则共有所以：据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
化简：．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若过点恰有条与的图象相切的直线，求的取值范围；
Ⅲ若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即的取值范围为．
由，的单调递减区间为，
可得方程的根为，．
即的取值为．
16.解：已知，
令，得；
令，得；
，整理得；
由，得；
对已知等式两端求导，得，
令，得．
17.解：易知的定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得极大值，
极大值，
当时，取得极小值，
极小值；
易知，
当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
当时，
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
若，即时，
，
所以在上单调递增；
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
18.解：证明：；
证明：．
令为，为，
由，可得，
证明：．
，
由得，即，
原式
．
19.解：Ⅰ因为，，
所以，．
因为，所以，
所以若，则，
即在上恒成立，所以在为增函数；
若，由，
由，
所以函数在上递减，在上递增．
综上：当时，在为增函数；当时，在上递减，在上递增．
Ⅱ设切点，切线斜率为：，
所以切线方程为：，
因为切线过点，所以，
整理得：，
设，
则，
，由．
所以在上递增，在上递减．
又过点恰有条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点．
因为，，，
所以．
即所求的取值范围为：．
Ⅲ当时，，
，．
设，则．
假设存在，，使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，
即，
因为．
设，
则当且仅当时取“”．
但，所以在恒成立．
所以在上单调递增，又所以在上恒成立．
即方程在上无解．
即满足条件的点不存在．
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