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2024-2025学年广西大学附中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若数列为等比数列，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的图象在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.设是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.某学校高三班要从名班干部其中名男生，名女生中选取人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则( )
A. B. C. D.
7.中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱将在年全部对接，形成““字结构在中国空间站建造阶段，有名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少人，至多人，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知若对任意的正实数，，满足当时，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据，，，的平均数等于，，，的平均数
B. 样本数据，，，，的标准差大于方差
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
10.为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一我国某省年月份至年月份这个月新能源汽车月销量单位：千辆与月份代码的数据如表所示：
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份代码
月销量千辆
若与线性相关，且经验回归方程为，则( )
A. B. 样本相关系数在内
C. 相对于点的残差为 D. 年月份的销量一定为万辆
11.已知首项为的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有( )
A. 是等差数列 B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是______．
13.在数字通信中，信号是由数字和组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或已知当发送信号时，被接收为和的概率分别为和；当发送信号时，被接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的，则接收的信号为的概率为______．
14.设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
于年月日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如表所示单位：人．
效果 岁用户人数 岁用户人数
有效
无效
总计
求出，的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关；
以频率估计概率，在所有效果为有效的人群中抽取人，求恰有人为岁用户年龄段的概率．
附：．
16.本小题分
某市共有所重点大学可供考生选择，其中所为高校，所为高校，另外所为特色专业高校一位考生准备从这所高校中随机选择所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
求该考生恰好选到所高校的概率；
若该考生选到高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，．
证明：平面．
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为的等差数列，且．
求数列和的通项公式．
求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.由题意得：，，
计算，
所以在显著性水平为的情况下，认为推荐算法的效果与用户年龄段有关；
样本的推荐算法有效的群体中抽到为岁用户年龄段的频率为，
以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为岁用户年龄段的概率为，
则人中恰有人为岁用户年龄段的概率为：．
16.解：从所高校中，任取所，共有种取法；
恰有所高校的取法为：，
该考生恰好选到所高校的概率为，
设为该考生选到高校的个数，则的取值为，，，，
，
，
，
，
则：
．
17.解：证明：因为底面为正方形，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，与相交，，平面，
所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量为．
，
易知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
18.解：为等比数列的前项和，设公比为，
已知，，可得，
可得，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当，可得，所以数列的通项公式为，则．
数列是公差为的等差数列，且．
可得，即，解得，
故数列的通项公式为．
由知：，，可得，
可得，
，
相减可得
，
所以．
19.解：当时，．
所以．
令，即．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得极小值为，无极大值．
，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，在上递减；所以至多有个零点，不合题意．
当时，因为有两个零点，则，即，
令，因为单调递增，，
所以，
因为，，
由零点存在定理知，在存在一个零点．
又，
，由零点存在定理知，在存在一个零点．
综上：若有两个零点，则的取值范围是．
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