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鲁教版（五四学制）七年级数学下册《 角平分线》
自主提升训练题
一．选择题
1．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点若满足PD＝PM，则OD的长度为（　　）
A．3 B．5 C．5或7 D．3或7
2．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）
A．64 B．48 C．32 D．42
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：4 B．5：3 C．4：3 D．3：4
4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（　　）
A．6 B．+4 C．+2 D．2+2
5．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　）
A．PQ＜10 B．PQ＞10 C．PQ≥10 D．PQ≤10
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．3 B．+ C．+2 D．2+
7．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．1 B．6 C．3 D．12
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（　　）
A．3.5 B．7 C．14 D．28
10．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且，则线段BE的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　）
A．3 B．10 C．12 D．15
二．填空题
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为　 　．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E、F分别是边AC、BC上的动点，且EF∥AB，点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则CD长为　 　．
16．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝　 　．
17．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是　 　．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是　 　．
20．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝　 　．
21．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为　 　．
三．解答题
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
23．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
24．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，BE＝CF，△DEB与△DFC的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
25．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
26．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠BAC＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC；
（3）如图③，若OC⊥PC，求∠P的度数．（用含α的式子表示）
参考答案
一．选择题
1．解：如图：过点P作PE⊥OA于点E
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB
∴PE＝PN
∵PE＝PN，OP＝OP
∴△OPE≌△OPN（HL）
∴OE＝ON＝5
∵OM＝3，ON＝5
∴MN＝2
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN
∴△PMN≌△PDE（HL）
∴DE＝MN＝2
∴OD＝OE﹣DE＝3
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN
∴△PMN≌△PDE（HL）
∴DE＝MN＝2
∴OD＝OE+DE＝7
故选：D．
2．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
＝
＝×AC×4++
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
故选：C．
3．解：过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），
∴DF＝CD，
设DF＝CD＝R，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，
∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，
故选：B．
4．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，
∴AD＝2DF＝4，
∵∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠B＝45°，
∴BF＝DF＝2，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2，
故选：D．
5．解：过P作PD⊥OB于D，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OA边的距离等于10，
∴PD＝PC＝10，
∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），
故选：C．
6．解：如图．过点D作DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2+，
故选：D．
7．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵BD、CE是△ABC的外角平分线，
∴PF＝PG，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH，
∵点P到AC的距离为4，
∴PH＝4，
即点P到AB的距离为4．
故选：A．
8．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
9．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
∵AB＝7，
∴△ABD的面积是：＝＝7，
故选：B．
10．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝4．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，
∴28＝×8×4+×AC×4，
∴AC＝6．
故选：C．
11．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
12．解：连接BD，如图，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．
故选：C．
13．解：作DH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DB＝DH，
∵×AB×CD＝DH×AC，
∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，
∴S△ADC＝×10×3＝15．
故选：D．
二．填空题
14．解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
即线段DE 的长度的最小值是3，
故答案为：3．
15．解：过点C作CH⊥AB于H，如图，
∵EF∥AB，
∴CH⊥EF，
∵点D与点C关于EF对称，
∴点D在CH上，
在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∵CH AB＝AC BC，
∴CH＝＝，
∴AH＝＝，
当点D为∠BAC的平分线AM与CH的交点时，如图1，过点M作MN⊥AB于N，
∴MC＝MN，
∴AN＝AC＝6，
∴BN＝4，
设MC＝MN＝x，则BM＝8﹣x，
在Rt△BMN中，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∵DH∥MN，
∴＝，即＝，解得HD＝，
∴CD＝﹣＝3；
当点D为∠ABC的平分线BG与CH的交点时，如图2，BH＝AB﹣AH＝，
过点G作GQ⊥AB于Q，则GQ＝GC，
∴BQ＝BC＝8，
∴AQ＝2，
设GQ＝GC＝t，则AG＝6﹣t，
在Rt△AGQ中，22+t2＝（6﹣t）2，解得t＝，
∵DH∥GQ，
∴DH＝，
∴CD＝﹣＝，
综上所述，CD的长为3或．
故答案为3或．
16．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
17．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝4，
同理OF＝OD＝4，
△ABC的面积＝×AB×4+×AC×4+×BC×4＝42．
故答案为：42．
18．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，
∵P为CE中点，
∵S△EFP＝S△CFP，
设S△EFP＝S△CFP＝y，
∵BD是AC边上的中线，
∴设S△CDF＝S△AFD＝z，
∵S△BFP＝15，
∴S△BCD＝15+y+z，
∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，
∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴EG＝CE＝2CP＝4，
∴S△ABE＝AB EG＝30，
∴AB＝15，
故答案为：15．
19．解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×18＝45，
故答案为45．
20．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，
∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，
∴IE＝IF＝IH，
则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，
解得，IH＝2，
故答案为：2
21．解：过D作DF⊥BC，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，
∴DF＝4，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝
，
故答案为：36
三．解答题
22．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝27°．
23．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF＝DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
24．证明：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∵△DEB与△DFC的面积相等，
∴×BE×DG＝×FC×DH，又BE＝CF，
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
25．解：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC．
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF＝CG．
26．（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）解：∵OC⊥CP，
∴∠BOC+∠PCD＝90°，
∵OC平分∠ACB，
∴CP平分∠ACD，
∵∠P＝∠PCD﹣∠PBC，
∵∠PCD＝90°﹣∠BCO，
∵∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，
∴∠PBC＝90°﹣α﹣∠OCB，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝90°﹣∠BCO﹣（90°﹣α﹣∠OCB）＝α，

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