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2025年浙江省中考数学适应性模拟练习试卷
试卷满分为120分．考试时间为120分钟．
一、选择题（有10小题，每小题3分，共30分．）
1 . 以下四个城市中2025年1月份某天中午12时气温最低的城市是（ ）
杭州市 温州市 嘉兴市 宁波市
A．杭州市 B．温州市 C．嘉兴市 D．宁波市
2 . 据杭州市文化广电旅游局统计，今年清明假期三天，全市共接待游客3940100人次．
则3940100用科学记数法可表示为（　 　）

A． B． C． D．
3．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4 . 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9
如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
6 . 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为， 则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
7. 如图，在 ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在 ABCD中作图，
作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．2
8 . “2025年五一假期，小华和家人到杭州公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）．
A．15 B．16 C．18 D．20
9 .如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，
点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
10 . 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．
连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D.
二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）
11 . 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

12 分解因式： ．
如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，
则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
如图，D，E分别是边，的中点，连接，．
若，则的长为

15 . 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，
点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为________
16 .如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；
如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；
如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．计算：
18．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，
从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），
整理分析过程如下：
【收集数据】
A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理数据】
不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数 平均数 众数 中位数 方差
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）；
(2) 统计表中，x＝　 　，y＝ 　 　；
(3) 补全频数分布直方图；
(4) 在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）；
(5) 按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，
能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人．
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
21．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
22．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，
其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．
两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．
(1)轿车平均速度是 ，货车的平均速度是 ；
(2)求直线的函数表达式；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
23 . 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，
与轴交于点，其顶点为．
求抛物线及直线的函数关系式；
(2) 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．
若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
24．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
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2025年浙江省中考数学适应性模拟练习试卷解答
试卷满分为120分．考试时间为120分钟．
一、选择题（有10小题，每小题3分，共30分．）
1 . 以下四个城市中2025年1月份某天中午12时气温最低的城市是（ ）
杭州市 温州市 嘉兴市 宁波市
A．杭州市 B．温州市 C．嘉兴市 D．宁波市
【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．
故选：C．
2 . 据杭州市文化广电旅游局统计，今年清明假期三天，全市共接待游客3940100人次．
则3940100用科学记数法可表示为（　 　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）．
【详解】解：，
故选：C．
3．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：该直口杯的主视图为
故选：D．
4 . 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9
【答案】A
【分析】根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：平均数为，
众数是10，
中位数为，
故选：A．
如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的性质得到，，进而得到以及，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与位似，
，，
，，
又的面积是面积的9倍，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
6 . 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为， 则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
7. 如图，在 ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在 ABCD中作图，
作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．2
【答案】D
【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题．
【详解】解：过点作于点，如题所示，
由作图痕迹可知，为的平分线，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，且，
∴，
∴在中，，，
∴，
在中，，
故选D．
8 . “2025年五一假期，小华和家人到杭州公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）．
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选C．
9 .如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，
点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】B
【分析】本题考查了圆的切线的性质，反比例函数比例系数k的几何意义；连接，由题意易得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值；通过辅助线把的面积转化为的面积是解题的关键．
【详解】解：连接，如图；
与x轴相切，为的直径，
，，
，
，
即，
，
；
故选：B．
10 . 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．
连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的性质，得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，进而得到，由，得到，代入，即可求解，
本题考查了，直角三角形斜边中线等于斜边一半，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：找到相似三角形．
【详解】解：由题意可知：，，，，，
∴，
∵点为BC的中点，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴，即：，
设，
∴，解得：或（舍），
故选：C．
二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）
11 . 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12 分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键．
先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，
则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
如图，D，E分别是边，的中点，连接，．
若，则的长为

【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
15 . 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，
点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为________
【答案】5
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，
利用三角形的面积公式，结论可求．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故答案为：5
16 .如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；
如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；
如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．计算：
【答案】4
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正弦值、负整数指数幂、零次幂、绝对值，再运算加减，即可作答．
【详解】解：原式．
18．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
整数解为0，1，2，3
某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，
从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），
整理分析过程如下：
【收集数据】
A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理数据】
不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数 平均数 众数 中位数 方差
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）；
(2) 统计表中，x＝　 　，y＝ 　 　；
(3) 补全频数分布直方图；
(4) 在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）；
(5) 按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，
能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人．
【答案】(1)抽样
(2)
(3)见解析
(4)A
(5)920
【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
（2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y；
（3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图；
（4）根据方差即可判断；
（5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可．
【详解】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
（2）x=50-5-15-8-4=18，
中位数为第25个和第26个平均数
故答案为：18，74.5．
（3）补全频数分布直方图：

（4）因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，
127.36＜144.12，
∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，
故答案为：A．
（5）（人）
故答案为：920．
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
解：（1）设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
21．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
【答案】(1)支点到桌面的距离
(2)支撑面下端到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，
（1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得；
（2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得，
掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∴，
在中，，，，，
即，
，
即支点到桌面的距离．
（2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，支点A为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则支撑面下端到桌面的距离：
，
即支撑面下端到桌面的距离为．
22．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，
其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．
两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．
(1)轿车平均速度是 ，货车的平均速度是 ；
(2)求直线的函数表达式；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
【答案】(1)
(2)
(3)货车出发或后，两车相距
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度=路程÷时间”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程=时间×速度”计算即可；
（3）根据题意两车相距，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于y的函数关系式，将代入关系式，求出相应x的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车两车相距时的时间，从而得到答案．
【详解】（1）解：∵轿车和货车到达目的地分别用时和，
∴，
∴轿车和货车的平均速度分别为；
（2）解：当时，两车相距，
∴，
又，
设的解析式为，则：
，
解得，，
∴的解析式为
（3）解：两车相遇前，即时，设y与x的函数关系式为：，
将和代入得：
，
解得：，
∴，
当时，即，
解得：；
两车相遇后，轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
∴当时，两车相距，
∴，
解得：，
∴货车出发或后，两车相距．
23 . 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，
与轴交于点，其顶点为．
求抛物线及直线的函数关系式；
(2) 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．
若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
解：（1）将、代入，
可得，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
设直线的函数关系式为，
将、代入，
可得，解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的坐标为，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示，
∵点，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∴此时周长取最小值，
当时，，
∴此时点的坐标为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，
周长的最小值为；
过点作轴交轴于点，交直线于点，
过点作轴交轴于点，如图所示，
设点的坐标为，则点，点，
∴，，
∴，
∵点，
∴点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
此时点的坐标为．
24．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
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