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因式分解 单元自测题
一、单选题
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．m2+5m+4＝m（m+5）+4 B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
C．a（m﹣n）＝am﹣an D．15m2n＝3m 5mn
2．多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是（　　）
A．5mx2 B．5mxy C．mx D．5mx
3．下列各组多项式中，没有公因式的是（　　）
A．ax﹣bx和by﹣ay B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
4．下列各式中，能用公式法分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下面从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．把多项式分解因式，结果正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
8．多项式m2﹣4与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　）
A．m﹣2 B．m+2 C．m+4 D．m﹣4
9．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．
10．下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解　 　．
12．因式分解：b2﹣4b+4＝　 　．
13．若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为　 　
14．分解因式；x2﹣16x＝　 　.
三、计算题
15．因式分解：
（1）
（2）
16．因式分解：
（1）a2－9；
（2）2x2－12x＋18
四、解答题
17．已知 ，求 的值.
18．数257－512能被120整除吗 请说明理由.
19．先分解因式，再求值：已知5x+y＝2，5y﹣3x＝3，求3（x+3y）2﹣12（2x﹣y）2的值.
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
五、综合题
21．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　 　（填提公因式法或公式法中的一个）；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝　 　；
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝　 　（直接填空）；
（3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝ ﹣1.
22．已知a、b、c是的三边，且满足，试判断的形状.阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴为. ④
（1）试问：以上解题过程是否正确：
（2）若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）　 　
（3）本题的结论应为　 　.
23．综合与实践
图1是一个长为a，宽为b的长方形．现有相同的长方形若干，进行如下操作：
（1）用四块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图2所示的正方形．请利用图2中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式，，之间的等量关系　 　；
（2）将六块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图3所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积，你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立；
（3）现有图1的小长方形若干个，图4边长为a的正方形两个，边长为b的正方形两个请你用这些图形拼成一个长方形（不重叠），使其面积为．画出你所拼成的长方形，并写出长方形的长和宽分别为多少．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A：等号的右边不是积的形式，故A不是因式分解，不符合题意；
B：符合因式分解的概念，故B符合题意；
C：等号的右边不是积的形式，故C不是因式分解，不符合题意；
D：等号的左边不是多项式，故D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变成乘积的形式逐项判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵5mx3、25mx2和﹣10mxy 的系数为5、25与-10，
∴公约它们的最大数是5；
∵三项的字母部分都含有字母m和x，其中m的最低次数是1，x的最低次数是1，
∴多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是5mx.
故答案为：D.
【分析】利用公因式的确定方法解答，这三项的系数5、25与-10，公约它们的最大数是5；三项的字母部分都含有字母m和x，其中m的最低次数是1，x的最低次数是1，因此公因式为5mx.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、ax﹣bx＝x（a﹣b）和by﹣ay＝﹣y（a﹣b），故两多项式的公因式为：a﹣b，故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝3x（1﹣3y）和6y2﹣2y＝﹣2y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：1﹣3y，故此选项不合题意；
C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；
D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，只能提公因式分解因式，不符合题意；
B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，不符合题意；
C、不能继续分解因式，不符合题意；
D、，能用平方差公式进行因式分解，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式逐项判断即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”据此即可判断A、B；根据二项式使用平方差公式分解因式即可判断C、D.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是把一个多项式转化几个整式的积的形式，故答案为：错误；
B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故答案为：错误；
C、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故答案为：错误；
D、 ，符合定义且分解正确，故答案为：正确；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解是“把一个多项式化为为几个整式积的形式”进行判断即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】观察发现含有公因式a，直接提取公因式即可对原式进行分解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解： ， ，
与多项式 的公因式是 ，
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，再结合公因式的定义求解即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为x， 常数项为
故答案为：A
【分析】根据题意先求出，再求出a=1即可作答。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A.，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B.，只用了平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D. ，能用提公因式的方法因式分解，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据提公因式及公式法逐项分解，再判断即可.
11．【答案】mn（m-n）
【解析】【解答】解：
故答案为：mn（m-n）.
【分析】观察发现，含有公因式mn，直接提取公因式即可对原式进行分解.
12．【答案】(b-2)2
【解析】【解答】解： b2﹣4b+4
＝b2﹣2×2b+22
=(b-2)2，
故答案为：(b-2)2.
【分析】完全平方公式是a2±2ab+b2=(a±b)2，根据公式进行因式分解即可.
13．【答案】-2
【解析】【解答】解：∵多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），
∴x2﹣x+a=（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2，
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】直接利用x2﹣x+a=（x+1）（x﹣2）求出a的值即可．
14．【答案】x（x﹣16）
【解析】【解答】解：原式＝x（x﹣16）.
故答案为：x（x﹣16）.
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案.
15．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】利用提取公因式因式分解即可。
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可。
17．【答案】解：∵x= ，y= ，
∴x+y= + =2 ，xy=（ ）（ ）=1，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2 .
【解析】【分析】先求出x+y和xy的值，再把原式提公因式化为xy（x+y）的形式，再代入进行计算，即可得出答案.
18．【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120
整除.
【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
19．【答案】解：原式＝3[（x+3y）2﹣4（2x﹣y）2]
＝3[（x+3y）+2（2x﹣y）][（x+3y）﹣2（2x﹣y）]
＝3（x+3y+4x﹣2y）（x+3y﹣4x+2y）
＝3（5x+y）（﹣3x+5y），
当5x+y＝2，5y﹣3x＝3时，
原式＝3×2×3＝18.
【解析】【分析】将原式先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式，继而将5x+y=2，5y-3x=3整体代入计算可得.
20．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
21．【答案】（1）提公因式法
（2）（1+x）4；（1+x）n+1
（3）解： （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）4，
当x＝ ﹣1时，原式＝（1+ ﹣1）4＝（ ）4＝36.
【解析】【解答】解：（1）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）4；
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n-1]
＝（1+x）n[（1+x）（1+x）n-n]
＝（1+x）n（1+x）
＝（1+x）n+1；
【分析】（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；（2）由题意根据题中的方法确定出所求即可；（3）由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.
22．【答案】（1）错误
（2）③
（3）直角三角形或等腰三角形
【解析】【解答】解：错误，理由是：
等式两边同除以a2-b2时，必须a2-b2≠0，但这里不能确定a2-b2≠0，
由得：
①
②，
当a2-b2=0时，等式成立，
∵a>0，b>0，
∴a=b；
当a2-b2≠0时，；
∴或a=b ③，
∴为等腰三角形或直角三角形. ④
故答案为：错误，③，直角三角形或等腰三角形.
【分析】由于②到③时等式两边都除以了a2-b2，如果a2-b2=0，根据等式的性质可知，此时③不一定成立，因此要分a2-b2=0和a2-b2≠0两种情况讨论.
23．【答案】（1）
（2）解：整个矩形面积为：，1个长方形面积为，
阴影部分矩形的面积为：，
∴，
证明：左边，
右边，
∵左边=右边，
∴．
（3）解：∵，
∴画出的图形如图所示：
该长方形的长为，宽为．
【解析】【解答】解：（1）大正方形的边长为，小正方形的边长为，1个长方形面积为，
∴；
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长为a，宽为b的长方形的面积即得结论；
（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个长为a，宽为b的长方形的面积列出等式，再用整式的乘法进行证明即可；
（3）先分解因式， 据此拼成一个长为2a+b，a+2b的长方形即可.

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