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图形的初步知识
一、单选题
1． 下列各图形中，经过折叠能围成一个立方体的为（ ）
A． B． C． D．
2．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
A．B．C． D．
3．如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．厉 B．害 C．了 D．我
5．如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果 ，则E所代表的整式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（　　）
A．传 B．统 C．文 D．化
7．如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）
A．45° B．55° C．125° D．135°
9．已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，，，点是直线上动点，则线段长度不可能是（　　）

A． B． C． D．
11．点A为直线外一点，于点C，．点P是直线上的动点，则线段长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．如图，点A为直线外一点，，垂足为点C，点A到直线的距离是线段（　　）的长度．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
14．已知一条直线上有三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为 ．
15．把下面的角度化成度的形式：＝ ．
16．比较大小： （填写“”、“ ”、“ ”）．
17．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则 ．
三、解答题
18．欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
参考答案：
1．C
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：A：折叠后有两个面重合，故A不能折叠成立方体；
B：折叠后有两个面重合，故B不能折叠成立方体；
C：能折叠成正方体；
D：有“田”字格，折叠后两个面重合，故D不能折叠成立方体．
故选：C．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体，注意只要“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
2．D
【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．
【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；
故选D．
【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．
3．D
【分析】根据左视图是从物体左面观察所得到的图形，由此即可得出答案.
【详解】依题可得：
该左视图第一列有1个小正方形，第二列有2个小正方形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握所看的位置是关键．
4．D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5．B
【详解】解：由图可得：面A和面E相对，面B和面D，相对面C和面F相对．由题意得：A+E=B+D，代入可得：a3+a2b+3+E=a2b﹣3+[﹣（a2b﹣6）]，解得：E=－a3﹣a2b-3．故选B．
点睛：本题考查了正方体向对两个面上文字以及整式的加减，掌握运算法则是关键，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6．C
【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬”与“统”相对，面“弘”与面“文”相对，“传”与面“化”相对．
故选：C．
【点睛】考点：正方体相对两个面上的文字．
7．A
【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知．
∵，
∴，，
∴，．
当大货车第一次到达D地时，用时，
∴此时小车行驶路程为．
∵，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，
∴大货车到达C地用时．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵，
∴大货车到达B地用时．
此时大货车共行驶．
∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，
则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．
故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．
8．B
【分析】根据量角器的使用方法结合图形解答即可.
【详解】解：∵OB指向0刻度，OA指向55
∴由图形所示，∠AOB的度数为55°，
故选：B．
【点睛】本题涉及角的度量问题，熟练掌握量角器的使用是关键.
9．A
【分析】直接将180°减去∠α即可．
【详解】解：∵∠α=，
∴∠α的补角为，
故选A．
【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等．
10．A
【分析】根据垂线段最短，即可选出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即点到的距离是，
∵点是直线上的动点，
∴，即有：，
故选：．
【点睛】此题考查了垂线段最短，解题关键是正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
11．D
【分析】利用垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
【详解】解：如图，

∵，
∴，而
即．
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键．
12．A
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念即可解答．
【详解】解：∵，垂足为点C，
∴点A到直线的距离是线段的长，
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
13．224
【分析】设展开图的长方形的长为a，宽为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出a，b，再根据长方体的体积求解即可；
【详解】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b，
则，
解得，
∴长方体的体积为：．
故答案为：224．
【点睛】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键．
14．80 或20
【分析】根据题意画出图形，①C在AB中间，②C在AB外，再利用中点的知识可求出答案．
【详解】解：①由题意得：PB＝AB＝50，BQ＝BC＝30，
∴PQ＝PB＋BQ＝80；
②CQ＝BC＝30，CP＝BC－BP＝60－50＝10，
∴PQ＝CQ－CP＝20．
故答案为80或20．
【点睛】本题考查线段中点的知识，有一定难度，关键是讨论C点的位置．
15．118.345°
【分析】先将整数后面的小数部分变成最小单位秒，然后再化为度，最后与整数部分相加即可．
【详解】解：，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查角度间的换算，熟练掌握运用换算进率是解题关键．
16．
【分析】根据角度制的换算关系即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度制是解题关键．
17．
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
18．（1）表格详见解析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．

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