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二次函数压训练（特殊四边形）
1．已知抛物线与x轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，设点的横坐标为，求线段长度的最大值．
(3)点是抛物线的顶点，在平面内确定一点，使得以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标.
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)用配方法求顶点的坐标；
(3)点是对称轴右侧抛物线上任意一点，设点的横坐标为．
①过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，当时，请直接写出点坐标；
②连接，以为边作正方形，是否存在点使点恰好落在对称轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线（为常数，且）的图象经过三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点的直线交抛物线于点，为抛物线上的一动点，为对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
5．已知：二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点坐标为______；
(3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______
(4)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离最大值时点的坐标．
6．已知抛物线的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当△ACE的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．
(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线经过点、两点，点C为抛物线与y轴的交点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点D是直线上方的抛物线上一点，求面积的最大值，以及面积取得最大值时，点D的坐标；
(3)点P是直线上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线在直线下方的一动点，作轴，，分别交于点、，求的最大值和此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点在抛物线上．当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
11．如图，抛物线与轴交于原点及点，且经过点，对称轴为直线，连接交轴于点．
(1)直接写出抛物线的解析式为___________；
(2)在抛物线上取点，点在点左侧，连接、，若且，求两点的坐标；
(3)连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标．
12．已知抛物线与直线交于、两点，如果点，．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)长度为的线段在线段上移动，点与点在上述抛物线上，且线段与始终平行于轴．连接，求四边形的面积的最大值，并求出对应点的坐标，判断此时四边形的形状．
13．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．抛物线的顶点为D，其对称轴与线段交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段与点P和F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
(1)求出所在直线的表达式；
(2)在动直线l移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点P的坐标；
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)若点M是直线上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)当时，线段的长度有最大值，最大值为
(3)点的坐标为或或
2．(1)
(2)
(3)①或；②或
3．(1)抛物线解析式为
(2)存在，当点坐标为或或时，以为顶点的四边形是平行四边形
4．(1)
(2)
(3)或或
5．(1)；
(2)；
(3)或或；
(4)
6．(1)
(2)的值最大为，
(3)存在，当Q点为或或
7．(1)
(2)①的最大值为；②存在这样的Q点，Q点的坐标为 或或
8．(1)；
(2)最大面积为4，D坐标为；
(3)存在，点Q坐标为，点P坐标为或点Q坐标为，点P坐标为或点Q坐标为，点P坐标为．
9．(1)；
(2)当时，的最大值为：，此时；
(3)点N的坐标为或或， 或
10．(1)
(2)取的最大值为，此时
(3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
11．(1)
(2)，；或，；
(3)
12．(1)，；
(2)最大为，，四边形为平行四边形．
13．(1)
(2)
14．(1)，
(2)
(3)存在，或
15．(1)，
(2)直线
(3)和

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