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第4章 平行四边形 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形
2．如图，在 ABCD中，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．80° C．120° D．60°
3．如果一个n边形的内角和为1260°，那么n的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝15m，那么A，B两点间的距离是（　　）
A．20m B．24m C．30m D．28m
5．如图， ABCD的对角线相交于点O，BC＝7cm，BD＝10cm，AC＝6cm，则△AOD 的周长为（　　）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
7．玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，她应先假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角大于等于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
8．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，若AB＝6，EF＝2，则 ABCD的周长是（　　）
A．24 B．26 C．28 D．32
9．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD交于点O，OE⊥BD交于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为30，则 ABCD的面积为（　　）
A．36 B．32 C．24 D．18
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠D＝　 　 ．
12．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，BE，DF，BF，请添加一个条件 　 　 ，使四边形DEBF是平行四边形．
13． ABCD的周长为40，如果△AOB的周长比△BOC的周长小2，AB＝　 　 ．
14．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　 　 °．
15．已知平行四边形一个角的平分线把一条边分成4cm和5cm的两条线段，那么该平行四边形的周长为　 　 ．
16．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动．设它们运动的时间为t s，则当t＝ 　 　 时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的．
（1）求这个外角的度数．
（2）嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过1000°，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由．
18．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2 　 　 180°．
∵l1∥l2，
∴∠1 　 　 ∠3．
∵∠1+∠2 　 　 180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和 　 　 矛盾，
∴假设∠1+∠2 　 　 180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若，求CD的长．
20．如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB＝4，AC＝6，BD＝10．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求BC的长．
21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
22．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，连接EF与对角线AC相交于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接CE，G为CE的中点，连接OG．若OG＝2，求AE的长．
23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AD⊥BD时，AD＝4，AB＝6，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，，求四边形AECF的面积．
24．在 ABCD中，点E在CD上，点F在AB上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若E是CD的中点，AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH为边的所有平行四边形．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形
【点拨】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可．
【解析】解：A．绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意；
B．绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．如图，在 ABCD中，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．80° C．120° D．60°
【点拨】根据平行四边形的性质，对角相等即可求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴∠C＝∠A．
∵∠C＝100°．
∴∠A＝∠C＝100°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，运用平行四边形的性质，对角相等是解题的关键．
3．如果一个n边形的内角和为1260°，那么n的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【点拨】根据多边形的内角和公式，即可得出答案．
【解析】解：180（n﹣2）＝1260，
解得：n＝9．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
4．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝15m，那么A，B两点间的距离是（　　）
A．20m B．24m C．30m D．28m
【点拨】根据三角形中位线定理求解即可．
【解析】解：∵OA，OB的中点分别是点D，E，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝15m，
∴AB＝30m．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半成为解题的关键．
5．如图， ABCD的对角线相交于点O，BC＝7cm，BD＝10cm，AC＝6cm，则△AOD 的周长为（　　）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
【点拨】利用平行四边形的性质求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝7cm，OA＝OC＝AC＝3cm，OD＝OB＝BD＝5cm，
∴△AOD的周长＝AD+AO+OD＝7+3+5＝15（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
【点拨】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7．玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，她应先假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角大于等于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解析】解：用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，若AB＝6，EF＝2，则 ABCD的周长是（　　）
A．24 B．26 C．28 D．32
【点拨】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠AFB＝∠ABF，得出AF＝AB＝6，同理可证DE＝DC＝6，再由EF的长求出AD的长，据此根据平行四边形周长计算公式即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，
∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC＝∠ABC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
同理可证DE＝DC＝6．
∵EF＝AF+DE﹣AD＝2，
∴6+6﹣AD＝2，即12﹣AD＝2，
解得AD＝10，
∴BC＝10，
∴ ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝6+6+10+10＝32，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，关键是平行四边形性质的熟练掌握．
9．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD交于点O，OE⊥BD交于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【点拨】利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是BD的中点．
又∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的中垂线，
∴BE＝DE．
又∵△ABE的周长＝AB+AE+BE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD．
又∵ ABCD 的周长为20cm，
∴AB+AD＝10cm
∴△ABE的周长为10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为30，则 ABCD的面积为（　　）
A．36 B．32 C．24 D．18
【点拨】由平行四边形的面积公式得到4BC＝6CD，由 ABCD的周长为30，得到BC+CD＝15，求出CD＝6，即可得到 ABCD的面积＝CD AF＝36．
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∵AE＝4，AF＝6，
∴4BC＝6CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长＝30，
∴BC+CD＝15，
∴4BC+4CD＝60，
∴10CD＝60，
∴CD＝6，
∴ ABCD的面积＝CD AF＝6×6＝36．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的面积公式得到4BC＝6CD，由平行四边形的性质得到BC+CD＝15．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠D＝　80°　 ．
【点拨】根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A＝100°，∠D＝80°．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，∠D＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．
12．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，BE，DF，BF，请添加一个条件 　AE＝CF（答案不唯一）　 ，使四边形DEBF是平行四边形．
【点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，再证明△ABE≌△CDF（SAS），得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，则∠BEF＝∠DFE，然后证明BE∥DF，即可得出结论．
【解析】解：添加条件AE＝CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13． ABCD的周长为40，如果△AOB的周长比△BOC的周长小2，AB＝　9　 ．
【点拨】由平行四边形的性质得AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，由 ABCD的周长为40，求得AB+BC＝20，由△AOB的周长比△BOC的周长小2，得BC+OB+OC﹣（AB+OB+OA）＝2，推导出BC＝AB+2，则AB+AB+2＝20，求得AB＝9，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，
∵ ABCD的周长为40，
∴2AB+2BC＝40，
∴AB+BC＝20，
∵△AOB的周长比△BOC的周长小2，
∴BC+OB+OC﹣（AB+OB+OA）＝2，
∴BC＝AB+2，
∴AB+AB+2＝20，
∴AB＝9，
故答案为：9．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，推导出AB+BC＝20及BC＝AB+2是解题的关键．
14．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　50　 °．
【点拨】因为BD＝CD，所以∠DBC＝∠C＝70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC＝70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，由余角的性质可求∠DAE，即可求解．
【解析】解：在△DBC中，
∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．
故答案为：50．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．
15．已知平行四边形一个角的平分线把一条边分成4cm和5cm的两条线段，那么该平行四边形的周长为　26cm或28cm　 ．
【点拨】利用平行四边形的性质和角平分线证出∠DAE＝∠BEA，得出AB＝BE，由此求出另一边，从而求出周长，注意两种情况．
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∵∠A的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE
∵AD∥BC，
∴∠DEA＝∠BEA，
∴∠DAE＝∠BEA
∴AB＝BE，
分两种情况进行讨论：
当BE＝4cm，EC＝5cm时，AB＝BE＝4cm，BC＝9cm，平行四边形的周长＝2（4+9）＝26（cm）；
当BE＝5cm，EC＝4cm时，AB＝BE＝5cm，BC＝9cm，平行四边形的周长＝2（5+9）＝28（cm）；
综上所述： ABCD的周长是26cm或28cm．
故答案为：26cm或28cm．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明AB＝BE是解题的关键．
16．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动．设它们运动的时间为t s，则当t＝ 　或4　 时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点拨】分两种情况，①当点F在C的左侧时，②当点F在C的右侧时，分别由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，列出一元一次方程，解方程即可．
【解析】解：根据题意得：AE＝2t cm，BF＝2t cm，
分两种情况：
①当点F在C的左侧时，CF＝BC﹣BF＝8﹣4t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即2t＝8﹣4t，
解得：t＝；
②当点F在C的右侧时，CF＝BF﹣BC＝4t﹣8（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即2t＝4t﹣8，
解得：t＝4；
综上所述，当t＝或4时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：或4．
【点睛】考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的．
（1）求这个外角的度数．
（2）嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过1000°，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由．
【点拨】（1）设与这个外角相邻的内角为x°，由此列式求解即可；
（2）由（1）可得，这个正多边形的每个外角都相等，且都等于45°，则有这个正多边形的边数为360°÷45°＝8，再根据多边形内角和定理即可求解．
【解析】解：（1）设与这个外角相邻的内角为x°，则这个外角为，
根据题意得，
解得：x＝135，
∴，
∴这个外角的度数为45°．
（2）正确，理由如下：
∵正多边形的外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为360°÷45°＝8，
∴正多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°＞1000°，
∴嘉嘉的猜想正确．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，外角和的性质，掌握内角和的计算，外角和的性质是解题的关键．
18．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2 　≠　 180°．
∵l1∥l2，
∴∠1 　＝　 ∠3．
∵∠1+∠2 　≠　 180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和 　平角为180°　 矛盾，
∴假设∠1+∠2 　≠　 180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
【点拨】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明．
【解析】证明：假设∠1+∠2≠180°．
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3．
∵∠1+∠2≠180°，
∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，
∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
故答案为：≠；＝；≠；平角为180°；≠．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若，求CD的长．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）欲求CD的长度，只需利用勾股定理求得AB的长度即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BF＝DF．（3分）
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°．
∵，
在Rt△ABE中，，
∴CD＝AB＝4．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解答（1）题的关键是根据SAS证明△ABE≌△CDF，解答（2）题的关键是掌握勾股定理．
20．如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB＝4，AC＝6，BD＝10．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求BC的长．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝5，而AB＝4，则AB2+OA2＝OB2＝25，所以∠OAB＝90°，由CD∥AB，得∠ACD＝∠OAB＝90°；
（2）由∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，根据勾股定理得BC＝＝2．
【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴OA＝OC＝AC＝×6＝3，OB＝OD＝BD＝×10＝5，
∵AB＝4，
∴AB2+OA2＝42+32＝25，OB2＝52＝25，
∴AB2+OA2＝OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠OAB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠OAB＝90°，
∴∠ACD的度数是90°．
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴BC＝＝＝2，
∴BC的长是2．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理等知识，根据勾股定理的逆定理证明∠OAB＝90°是解题的关键．
21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
【点拨】通过证明△AOE≌△COF，即可求证．
【解析】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
22．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，连接EF与对角线AC相交于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接CE，G为CE的中点，连接OG．若OG＝2，求AE的长．
【点拨】（1）证明△AOE≌△COF，即可求证；
（2）根据三角形的中位线定理，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
在△AOE和△COF中，
∵∠BAC＝∠ACD，AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵点G为CE的中点，OE＝OF，
∴OG是△EFC的中位线，
OG＝2，
∴CF＝2OG＝4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AD⊥BD时，AD＝4，AB＝6，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，，求四边形AECF的面积．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得到OB＝OD，OA＝OC，又BE＝DF，得到OE＝OF，即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）根据平行四边形对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，由勾股定理求出BD的长，进而得到OD的长，再由勾股定理求出OA的长，即可求出AC的长；
（3）先求出EF的长，再求出△AEF的面积，进而可由平行四边形的性质求出四边形 AECF 的面积．
【解析】（1）证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，即：OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
在直角三角形ABD中，AD＝4，AB＝6，
由勾股定理得：，
∴，
在直角三角形AOD中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
24．在 ABCD中，点E在CD上，点F在AB上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若E是CD的中点，AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH为边的所有平行四边形．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AB∥CD，再证明△ADE≌△CBF（ASA），得DE＝BF即可；
（2）证明△EDG≌△CEH（ASA），得EG＝CH，DG＝EH，再由平行四边形的判定得四边形GHCE、四边形GHED是平行四边形，同理可证四边形GHFA、四边形GHBF是平行四边形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AB∥CD，DE∥BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF；
（2）解：以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由（1）可知，DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DF∥BE，
∴∠EDG＝∠CEH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ECH＝∠CFB，
∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB，
∴∠ECH＝∠AED，
∴AE∥CF，
在△EDG和△CEH中，
，
∴△EDG≌△CEH（ASA），
∴EG＝CH，DG＝EH，
又∵EG∥CH，DG∥EH，
∴四边形GHCE、四边形GHED是平行四边形，
同理：四边形GHFA、四边形GHBF是平行四边形，
综上可知，以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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