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第4章 平行四边形 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在 ABCD中，∠C、∠D的度数之比为3：1，则∠A等于（　　）
A．45° B．50° C．130° D．135°
3．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．对角相等 B．对角互补 C．邻角互补 D．对边相等
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，若△ABC的周长是12cm，则△DEF的周长是（　　）cm．
A．5 B．6 C．8 D．9
5．若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应先假设（　　）
A．三个内角都大于60° B．三个内角都小于60°
C．三个内角都不大于60° D．三个内角至多有两个大于60°
8．如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12．则BC边的长不可能是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
9．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；成立的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，点P是 ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4， ABCD的面积为S，下列结论正确的个数是（　　）
①；
②若S2＝3S4，则S＝8S4；
③如果P点在对角线BD上，则S1 S3＝S2 S4；
④若S1﹣S2＝S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若n边形的每个外角都是18°，则n的值为 　 　 ．
12．如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝4，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 　 　 ．
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为 　 　 ．
14．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 　 　 ．
15．如图，在 ABCD中，，∠BAC＝90°，点E、F在对角线AC上，且AF＝CE＝2EF，∠ABF＝45°，连接BD，则BD＝ 　 　 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，点P在BC边上，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，则BP的长是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
18．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若BC＝2AE，∠E＝34°，求∠DAB的度数．
19．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求△OBC的面积．
20．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，AB＝12，E是边CD的中点，连接BE交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）当BF⊥DC时，求四边形BDFC的面积．
21．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）将此多边形截去一个角，直接写出它的边数与外角和．
（3）若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且BE＝DF，连结AE、CE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AC⊥BD，∠AEC＝120°，，求四边形AECF的周长．
23．问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD交于点E、F，请直接写出EF的长．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝10”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，AB的长为 　 　 ．
②当点E与点C重合时，EF的长为 　 　 ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝10，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
24．综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解析】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．在 ABCD中，∠C、∠D的度数之比为3：1，则∠A等于（　　）
A．45° B．50° C．130° D．135°
【点拨】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AD∥BC，则∠C+∠D＝180°，再求出∠C＝135°，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠C、∠D的度数之比为3：1，
∴∠C＝135°，
∴∠A＝135°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的内角的性质是解题关键．
3．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．对角相等 B．对角互补 C．邻角互补 D．对边相等
【点拨】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【解析】解：A、平行四边形对角相等，正确，不合题意；
B、平行四边形对角不互补，错误，符合题意；
C、平行四边形的邻角互补，正确，不合题意；
D、平行四边形对边相等，正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，若△ABC的周长是12cm，则△DEF的周长是（　　）cm．
A．5 B．6 C．8 D．9
【点拨】三角形的中位线等于第三边的一半，由此得到DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，即可解决问题．
【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12cm，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（AB+BC+AC）＝6（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
5．若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】先求出n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°，再根据n边形的内角和与它的外角和相等得（n﹣2）×180°＝360°，由此解出n即可．
【解析】解：∵n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°，
又∵n边形的内角和与它的外角和相等，
∴（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了n边形的内角和与外角和定理，解决问题的关键是熟练掌握n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
【点拨】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应先假设（　　）
A．三个内角都大于60° B．三个内角都小于60°
C．三个内角都不大于60° D．三个内角至多有两个大于60°
【点拨】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于60°”．
【解析】解：∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”，即三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于60°的，
∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于60°”．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，三角形内角和定理，解答本题的关键明确：反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立．
8．如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12．则BC边的长不可能是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
【点拨】由在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝12，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC与OB的长，然后由三角形的三边关系，求得BC的取值范围．
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝12，
则OC＝AC＝4，OB＝BD＝6，
由三角形的三边关系知，AB边长的取值范围是：2＜BC＜10．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．
9．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；成立的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA，而∠DAE＝∠BAE，所以∠BEA＝∠BAE，则AB＝EB，而∠ABE＝∠ADC＝60°，则△ABE是等边三角形，所以AB＝BE＝AE＝BC，则BE＝CE＝AE，所以∠EAC＝∠ECA，即可求得∠ECA＝30°，所以∠CAD＝∠ECA＝30°，可判断①正确；由∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，得∠BAC＝90°，所以S ABCD＝AB AC，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，OB＞AB，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确；
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明△ABE是等边三角形是解题的关键．
10．如图，点P是 ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4， ABCD的面积为S，下列结论正确的个数是（　　）
①；
②若S2＝3S4，则S＝8S4；
③如果P点在对角线BD上，则S1 S3＝S2 S4；
④若S1﹣S2＝S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出S1：S4＝S2：S3，判断③；最后根据已证关系式，得出S1＝S2，S3＝S4，判断④，综合即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，点C到AB，AD的距离分别为hAB，hAD，
则，．
∵，
∵S平行四边形ABCD＝AB hAB＝AD hAD，
∴S2+S4＝S1+S3＝，故①正确；
根据S2＝3S4，S2+S4＝S1+S3＝，
能得出S＝8S4，故②正确；∵点P在对角线BD上，∴S1：S4＝PB：PD，S2：S3＝PB：PD，
∴S1：S4＝S2：S3，
∴S1 S3＝S2 S4，
故③正确；
由S1﹣S2＝S3﹣S4和S2+S4＝S1+S3，得S1＝S2，S3＝S4，
∴S1+S4＝S2+S3，
∴，
∴点P一定在对角线在BD上，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，掌握平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若n边形的每个外角都是18°，则n的值为 　20　 ．
【点拨】根据多边形的外角和公式即可得出答案．
【解析】解：360°÷18°＝20（条）．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的外角和公式是解题的关键．
12．如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝4，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 　2　 ．
【点拨】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE＝∠EAD，∠DAE＝∠AEB，即可得出∠BAE＝∠BEA，推出BA＝BE＝4进而得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝6，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，根据已知得出∠BAE＝∠BEA是解决问题的关键．
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为 　6　 ．
【点拨】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，BC＝AD，再由△BCO的周长为14，可求BC＝6，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，BC＝AD，
∵AC+BD＝16，
∴BO+CO＝8，
∵△BCO的周长为14，
∴BO+CO+BC＝14，
∴BC＝14﹣8＝6，
∴AD＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
14．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 　144°　 ．
【点拨】先根据多边形的每个内角都相等和多边形内角和公式，求出每个内角的度数，再根据四边形的内角和是360°，求出答案即可．
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为：，
∴∠A＝∠E＝108°，
∵∠A+∠E+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式．
15．如图，在 ABCD中，，∠BAC＝90°，点E、F在对角线AC上，且AF＝CE＝2EF，∠ABF＝45°，连接BD，则BD＝ 　5　 ．
【点拨】先证明∠AFB＝∠ABF，从而得到AB＝AF，再由AF＝CE＝2EF，则 AB＝2EF，AC＝3EF，在Rt△ABC中，由勾股定理，得，求得EF＝1，继而求得AB＝2EF＝2，AC＝3EF＝3，设 ABCD对角线相交于O，则，BD＝2OB，在Rt△ABO 中，由勾股定理求得，即可求解．
【解析】解：∵∠BAC＝90°，∠ABF＝45°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∵AF＝CE＝2EF，
∴AB＝2EF，AC＝3EF，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，
由勾股定理，得AB2+AC2＝BC2，
即，
∴EF＝1，
∴AB＝2EF＝2，AC＝3EF＝3，
设 ABCD对角线线相交于O，如图，
∵ ABCD，
∴，BD＝2OB，
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，点P在BC边上，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，则BP的长是 　2或4或4　 ．
【点拨】分三种情况，由等腰直角三角形的性质，即可解决问题．
【解析】解：当AP＝BP时，
∴∠BAP＝∠B＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BP＝AB＝×4＝2；
当AB＝AP时，
∴∠APB＝∠B＝45°，
∴∠BAP＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BP＝AB＝4；
当BP＝AB＝4，△ABP是等腰三角形，
∴BP的长是2或4或4．
故答案为：2或4或4．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，关键是要分三种情况讨论．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
【点拨】利用SAS证明△ABE≌△CDF后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ED，OF＝BF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
【点睛】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若BC＝2AE，∠E＝34°，求∠DAB的度数．
【点拨】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝34°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
在△AFE和△DFC中，
，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝34°，
∴∠AFE＝∠E＝34°，
∴∠DAB＝2∠E＝68°．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
19．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求△OBC的面积．
【点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，从而得到DG∥EF，DG＝EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．
【解析】（1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4
∴OM＝OC＝2，
∴CM＝2，
Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，
∴BM＝OM＝2，
∴BC＝2+2，
∴△OBC的面积＝×BC×OM＝×（2+2）×2＝2+2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，AB＝12，E是边CD的中点，连接BE交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）当BF⊥DC时，求四边形BDFC的面积．
【点拨】（1）证明△BEC≌△FED（AAS），得BE＝FE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证明∠A＝90°，进而由勾股定理得BD＝13，再由线段垂直平分线的性质得FD＝BD＝13，然后由平行四边形面积公式列式计算即可．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE＝FE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：∵BC∥AD，∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴BA⊥FD，BD＝＝＝13，
由（1）可知，BE＝FE，四边形BDFC是平行四边形，
∵BF⊥DC，
∴FD＝BD＝13，
∴S平行四边形BDFC＝FD AB＝13×12＝156，
即四边形BDFC的面积为156．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）将此多边形截去一个角，直接写出它的边数与外角和．
（3）若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
【点拨】（1）设这个多边形的边数为n，则180（n﹣2）＝360+540，故n＝7；
（2）由将此多边形截去一个角，得多边形边数变为6或7或8，外角和都是360°；
（3）若这个七边形是正多边形，则每个外角为°，故每个内角为180﹣＝（）°，故每个内角比相邻的外角大，大度．
【解析】解：（1）设这个多边形的边数为n，
则180（n﹣2）＝360+540，
故n＝7；
（2）由将此多边形截去一个角，
得多边形边数变为6或7或8，
外角和都是360°；
（3）若这个七边形是正多边形，
则每个外角为°，
故每个内角为180﹣＝（）°，
故每个内角比相邻的外角大，大度．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和及外角和公式，解题关键是熟练应用公式．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且BE＝DF，连结AE、CE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AC⊥BD，∠AEC＝120°，，求四边形AECF的周长．
【点拨】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由题意得四边形AFCE为菱形，再由∠AEC＝120°得△AEF为等边三角形，则 AE＝EF＝2EO，然后设AE＝2x，求出x，即可解决问题．
【解析】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形AFCE为菱形，
∵∠AEC＝120°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝2EO，
设AE＝2x，则，
∵，
∴AE2﹣EO2＝AO2，即：（2x）2﹣x2＝3，
∴3x2＝3，x2＝1，
∴x＝1，
∴AE＝2x＝2，
∴4AE＝8，
∴四边形AFCE的周长为8．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD交于点E、F，请直接写出EF的长．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝10”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，AB的长为 　12　 ．
②当点E与点C重合时，EF的长为 　6　 ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝10，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【点拨】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得DE＝AD＝6，CF＝BC＝6，可求解；
（2）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝6，同理BC＝CF＝6，即可求解；
②由题意得DE＝AD＝4，再由CF＝BC＝6，即可求解；
（3）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解析】解：问题：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝6，
同理可得CF＝BC＝6，
∴EF＝DE+FC﹣CD＝2；
探究：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝6，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝6，同理：BC＝CF＝6，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝12；
故答案为：12；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝6，
∵CF＝BC＝6，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝6；
故答案为：6；
（2）分三种情况
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2；
综上所述，的值为
2或或．
【点睛】本题四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
24．综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
【点拨】（1）由折叠知EC＝EC，则∠EC'C＝∠ECC'＝15°，推出∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°，因为EC'⊥AB，则∠EC'B＝90°，所以BE＝2BC'．由勾股定理得，EC′，则，所以，则BC'＝2，推出；
（2）证明：由折叠知∠CEF＝∠C'EF，∠EFD＝∠EFD'．由 ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B，则∠CEF+∠EFD＝180°．所以∠C'EF+∠EFD'＝180°，推出C'E∥D'F．则∠BC'E＝∠D′＝∠D＝∠B．所以BE＝C'E＝CE．则，因为AD∥BC，点D在BA延长线上，则∠B＝∠D'AF＝∠D'．推出AF＝D'F＝DF．则 ，因为AD＝BC，则C'E＝D'F．又因为C'E∥D'F，则四边形EC'D'F是平行四边形．
【解析】解：（1）由折叠知EC＝EC'，
∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°，
∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°，
∵EC'⊥AB，
∴∠EC'B＝90°，
∴BE＝2BC'．
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴BC'＝2，
∴；
（2）证明：由折叠知∠CEF＝∠C'EF，∠EFD＝∠EFD'．
由 ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B，
∴∠CEF+∠EFD＝180°．
∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．，
∴CE∥DF．
∴∠BC'E＝∠D′＝∠D＝∠B．
∴BE＝C'E＝CE，
∴，
∵AD∥BC，点D在BA延长线上，
∴∠B＝∠DAF＝∠D'，
∴AF＝D'F＝DF，
∴，
∵AD＝BC，
∴C'E＝D'F．
又∵C'E∥D'F，
∴四边形EC'D'F是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
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