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浙江省嘉兴八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题
1．（2025高一下·嘉兴期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，则的虚部为.
故答案为：B.
【分析】根据复数的相关概念判断即可.
2．（2025高一下·嘉兴期中）已知，且向量与向量的夹角为，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，且向量与向量的夹角为 ，
则.
故答案为：D.
【分析】根据向量数量积的定义计算即可.
3．（2025高一下·嘉兴期中）如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由， 可得为等腰直角三角形，
易知的面积为，则原的面积为.
故答案为：A.
【分析】由题意，先求的面积，再根据直观图与原图面积的关系求解即可.
4．（2025高一下·嘉兴期中）的内角所对的边分别为，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
由余弦定理可得，因为，所以.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理计算即可.
5．（2025高一下·嘉兴期中）在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：B.
【分析】利用向量的线性运算计算即可.
6．（2025高一下·嘉兴期中）中，，则（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，所以或，
当时，；当，，
综上所述，或.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理求出，可得或，从而求即可.
7．（2025高一下·嘉兴期中）在中，，为边的中点，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 在中，，为边的中点，
则，
平方可得，
则，即为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可.
8．（2025高一下·嘉兴期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，，设，
则
，
当，时，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量法求解即可.
9．（2025高一下·嘉兴期中）下列命题错误的是（　　）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B．四边形可以确定一个平面
C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
【答案】B,C
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：A、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形，
而三角形唯一确定一个平面，故A正确；
B、空间四边形不能确定一个平面，故B错误；
C、经过同一直线上的3个点的平面有无数个，故C错误；
D、经过两条平行直线，有且只有一个平面，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据平面的基本性质及推论逐项判断即可.
10．（2025高一下·嘉兴期中）已知复数：满足，则（　　）
A．
B．的实部为1
C．的共轭复数为
D．在复平面中对应的点位于第四象限
【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，
A、，故A正确；
B、，实部为1，故B正确；
C、复数的共轭复数为，故C错误；
D、复数在复平面中对应的点，位于第四象限，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先利用复数代数形式的除法运算化简求得复数z，再根据复数的概念及几何意义判断即可.
11．（2025高一下·嘉兴期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、 若，， 由正弦定理可得，
解得，故A正确；
B、 若，，由余弦定理，可得，解得，故B错误；
C、由余弦定理，可得，
则，因为，所以，所以.
所以，则，当且仅当时等号成立，
则周长的最大值为，故C正确；
D、由余弦定理，可得，
则，即，当且仅当时等号成立，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理即可判断A；利用余弦定理即可判断B；由余弦定理结合基本不等即可式判断C；利用余弦定理结合三角形的面积公式和基本不等式即可判断D.
12．（2025高一下·嘉兴期中）已知，且与共线，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为与共线，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可．
13．（2025高一下·嘉兴期中）已知长方体的长宽高分别为，，，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为　 　．
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知该几何体体积.
故答案为：.
【分析】由正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即可得该几何体的体积.
14．（2025高一下·嘉兴期中）文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高　 　米．
【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，利用正弦定理，
可得，
在中，，
则塔高AB为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用根据正弦定理求得，在中，根据求得即可．
15．（2025高一下·嘉兴期中）已知是关于的方程的一个根，其中为实数．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
【答案】（1）解：由题意可知：也是方程的一个根，
由韦达定理可得：，解得；
（2）解：，
因为是纯实数，所以，解得．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；方程的解与虚数根
【解析】【分析】（1）易知也是方程得一个根，根据韦达定理求解即可；
（2）根据复数代数形式的乘法运算计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可.
（1）由得
，
所以，解得
（2）由题可知，是纯实数，
所以，解得．
16．（2025高一下·嘉兴期中）内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为．求的周长．
【答案】（1）解：由，
可得，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：的面积为 ，则，即，解得，
由余弦定理，可得，整理得，
则，解得，即的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用两角和、差的正弦公式得，再由三角形内角的性质求角的大小即可；
（2）由三角形面积公式得，再利用余弦定理可得，即可得周长.
（1）在，
由已知，得，而，则，
又，所以．
（2）由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为．
17．（2025高一下·嘉兴期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
【答案】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆⊙A中，， 弧长，
这是圆锥的底面周长，所以，
所以，
故圆锥的底面积为；
（2）设圆柱的高，，
在中，，
，所以，
即，，
，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设，利用展开图是半圆，求解R，然后求解底面积；
（2）设圆柱的高，，通过，推出，求解h与r，然后求解圆柱体积的最大值即可.
18．（2025高一下·嘉兴期中）已知向量，，
（1）若与夹角为，求；
（2）若，求的坐标；
（3）若与夹角为，求取最小值时的值．
【答案】（1）解：易知，，
则；
（2）解：设，则，
由，可得，即，解得或，
则或；
（3）解：因为，，
所以，
故当时，取得最小值．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意，求出，，再根据及向量数量积的运算律计算即可；
（2）设，则且求解即可；
（3）首先求出，再由数量积的运算律得到，结合二次函数的性质计算即可.
（1）因为，，
所以，，
所以．
（2）设，则，
由得，即，解得或，
所以或．
（3）因为，，
所以
，
所以当时，取得最小值．
19．（2025高一下·嘉兴期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点．
（1）用和表示；
（2）设，实数，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围．
【答案】（1）解： 点满足，则，
因为为的中点，所以，则；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为三点共线，所以，则；
（3）解：设，
由（1）（2）可知，即，
因为，，
所以
，
又因为是边长为的等边三角形，所以，
所以化简得，
令，因，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
，
又因为，所以，
所以．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用平面向量的线性运算，以为基底表示、即可；
（2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论求解即可；
（3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可.
（1）因，所以，又因为的中点，所以，
所以．
（2）因，所以，
又因，所以，
又因三点共线，所以，即．
（3）设，由（1）（2）可知，
即．
因，
，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，所以，
所以化简得，
令，因，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
因此，
又因为，所以，
所以．
1 / 1浙江省嘉兴八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题
1．（2025高一下·嘉兴期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2025高一下·嘉兴期中）已知，且向量与向量的夹角为，则（　　）
A． B． C．2 D．
3．（2025高一下·嘉兴期中）如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（　　）
A． B． C．6 D．8
4．（2025高一下·嘉兴期中）的内角所对的边分别为，已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·嘉兴期中）在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·嘉兴期中）中，，则（　　）
A． B． C．或 D．或
7．（2025高一下·嘉兴期中）在中，，为边的中点，则为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·嘉兴期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（　　）
A． B． C． D．0
9．（2025高一下·嘉兴期中）下列命题错误的是（　　）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B．四边形可以确定一个平面
C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
10．（2025高一下·嘉兴期中）已知复数：满足，则（　　）
A．
B．的实部为1
C．的共轭复数为
D．在复平面中对应的点位于第四象限
11．（2025高一下·嘉兴期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值
12．（2025高一下·嘉兴期中）已知，且与共线，则实数的值为　 　．
13．（2025高一下·嘉兴期中）已知长方体的长宽高分别为，，，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为　 　．
14．（2025高一下·嘉兴期中）文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高　 　米．
15．（2025高一下·嘉兴期中）已知是关于的方程的一个根，其中为实数．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
16．（2025高一下·嘉兴期中）内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为．求的周长．
17．（2025高一下·嘉兴期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
18．（2025高一下·嘉兴期中）已知向量，，
（1）若与夹角为，求；
（2）若，求的坐标；
（3）若与夹角为，求取最小值时的值．
19．（2025高一下·嘉兴期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点．
（1）用和表示；
（2）设，实数，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，则的虚部为.
故答案为：B.
【分析】根据复数的相关概念判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，且向量与向量的夹角为 ，
则.
故答案为：D.
【分析】根据向量数量积的定义计算即可.
3．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由， 可得为等腰直角三角形，
易知的面积为，则原的面积为.
故答案为：A.
【分析】由题意，先求的面积，再根据直观图与原图面积的关系求解即可.
4．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
由余弦定理可得，因为，所以.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理计算即可.
5．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：B.
【分析】利用向量的线性运算计算即可.
6．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，所以或，
当时，；当，，
综上所述，或.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理求出，可得或，从而求即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 在中，，为边的中点，
则，
平方可得，
则，即为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，，设，
则
，
当，时，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量法求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：A、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形，
而三角形唯一确定一个平面，故A正确；
B、空间四边形不能确定一个平面，故B错误；
C、经过同一直线上的3个点的平面有无数个，故C错误；
D、经过两条平行直线，有且只有一个平面，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据平面的基本性质及推论逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，
A、，故A正确；
B、，实部为1，故B正确；
C、复数的共轭复数为，故C错误；
D、复数在复平面中对应的点，位于第四象限，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先利用复数代数形式的除法运算化简求得复数z，再根据复数的概念及几何意义判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、 若，， 由正弦定理可得，
解得，故A正确；
B、 若，，由余弦定理，可得，解得，故B错误；
C、由余弦定理，可得，
则，因为，所以，所以.
所以，则，当且仅当时等号成立，
则周长的最大值为，故C正确；
D、由余弦定理，可得，
则，即，当且仅当时等号成立，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理即可判断A；利用余弦定理即可判断B；由余弦定理结合基本不等即可式判断C；利用余弦定理结合三角形的面积公式和基本不等式即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为与共线，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可．
13．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知该几何体体积.
故答案为：.
【分析】由正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即可得该几何体的体积.
14．【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，利用正弦定理，
可得，
在中，，
则塔高AB为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用根据正弦定理求得，在中，根据求得即可．
15．【答案】（1）解：由题意可知：也是方程的一个根，
由韦达定理可得：，解得；
（2）解：，
因为是纯实数，所以，解得．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；方程的解与虚数根
【解析】【分析】（1）易知也是方程得一个根，根据韦达定理求解即可；
（2）根据复数代数形式的乘法运算计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可.
（1）由得
，
所以，解得
（2）由题可知，是纯实数，
所以，解得．
16．【答案】（1）解：由，
可得，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：的面积为 ，则，即，解得，
由余弦定理，可得，整理得，
则，解得，即的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用两角和、差的正弦公式得，再由三角形内角的性质求角的大小即可；
（2）由三角形面积公式得，再利用余弦定理可得，即可得周长.
（1）在，
由已知，得，而，则，
又，所以．
（2）由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为．
17．【答案】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆⊙A中，， 弧长，
这是圆锥的底面周长，所以，
所以，
故圆锥的底面积为；
（2）设圆柱的高，，
在中，，
，所以，
即，，
，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设，利用展开图是半圆，求解R，然后求解底面积；
（2）设圆柱的高，，通过，推出，求解h与r，然后求解圆柱体积的最大值即可.
18．【答案】（1）解：易知，，
则；
（2）解：设，则，
由，可得，即，解得或，
则或；
（3）解：因为，，
所以，
故当时，取得最小值．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意，求出，，再根据及向量数量积的运算律计算即可；
（2）设，则且求解即可；
（3）首先求出，再由数量积的运算律得到，结合二次函数的性质计算即可.
（1）因为，，
所以，，
所以．
（2）设，则，
由得，即，解得或，
所以或．
（3）因为，，
所以
，
所以当时，取得最小值．
19．【答案】（1）解： 点满足，则，
因为为的中点，所以，则；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为三点共线，所以，则；
（3）解：设，
由（1）（2）可知，即，
因为，，
所以
，
又因为是边长为的等边三角形，所以，
所以化简得，
令，因，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
，
又因为，所以，
所以．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用平面向量的线性运算，以为基底表示、即可；
（2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论求解即可；
（3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可.
（1）因，所以，又因为的中点，所以，
所以．
（2）因，所以，
又因，所以，
又因三点共线，所以，即．
（3）设，由（1）（2）可知，
即．
因，
，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，所以，
所以化简得，
令，因，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
因此，
又因为，所以，
所以．
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