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第2练　基本不等式
一、单项选择题
1．(2024·吉林长春第五中学检测)(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B.
C．3 D.
2．(2024·山东枣庄一模)已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2025·河南信阳模拟)函数f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
4．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4
C．7 D．3＋
5．若a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，则b＋的最小值为(　　)
A．9 B．3
C．1 D.
6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
7．(2025·广东佛山一中模拟)若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
8．近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来．为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站．已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区(　　)
A．5千米处 B．6千米处
C．7千米处 D．8千米处
二、多项选择题
9．(2025·河北衡水模拟)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列说法正确的是(　　)
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若010．(2025·广东广州模拟)已知aA．a＋c<0
B.＋<－2
C．存在a，c，使得a2－25c2＝0
D.<－
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
三、填空题
12．(2025·湖南株洲模拟)一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④，其中可作为数对(S，l)的是________(填序号)．
13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
14．设a>2b>0，那么的最小值是________．
四、解答题
15．(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤；
(2)求满足方程(x2＋2)(y2＋8)＝16xy的实数x，y的值．
16．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)某农场发现有400平方米的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天10平方米的速度扩散，相关部门立即组织人力进行抢修，每位抢修人员每天可抢修农田5平方米，劳务费为每人每天400元，还为每位抢修人员提供240元物资补贴．若安排x位抢修人员参与抢修，则需要t天完成抢修工作，渗水造成的总损失(总损失＝因渗水造成的直接损失＋各项支出费用)为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)应安排多少位抢修人员参与抢修，才能使总损失最小？并求出总损失．
第2练　基本不等式（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·吉林长春第五中学检测)(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B.
C．3 D.
答案：B
解析：当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6＜a＜3时，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号．综上，的最大值为.
2．(2024·山东枣庄一模)已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若a>0，b>0，a＋b>2，则a2＋b2≥(a＋b)2>2，充分性成立；若a2＋b2>2，可能a＝，b＝0.1，此时a＋b<2，所以必要性不成立．综上所述，“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的充分不必要条件．故选A.
3．(2025·河南信阳模拟)函数f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
答案：D
解析：解法一：因为x≥，所以x－2≥>0，则＝＝(x－2)＋≥2，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，所以函数f(x)有最小值，为2.
解法二：令x－2＝t，则t≥，x＝t＋2，则原函数可化为y＝＝＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立，此时x＝3，所以函数f(x)有最小值，为2.
4．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4
C．7 D．3＋
答案：C
解析：∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2＋3＝7，当且仅当时，等号成立．
5．若a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，则b＋的最小值为(　　)
A．9 B．3
C．1 D.
答案：C
解析：∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，·＝b＋4＋1＋＝5＋b＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝时，等号成立，∴9≥9，故b＋≥1，即b＋的最小值为1.故选C.
6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
答案：C
解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝.由于OD≥CD，所以≥(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0)．
7．(2025·广东佛山一中模拟)若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析：将不等式化为＋≥m，只需当x∈时，m≤即可．由＋＝[4x＋(1－4x)]＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x＝时，等号成立，故m≤9.所以实数m的最大值为9.故选C.
8．近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来．为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站．已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区(　　)
A．5千米处 B．6千米处
C．7千米处 D．8千米处
答案：A
解析：设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费y1＝，供热费y2＝k2x，由题意得，当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以两项费用之和为y1＋y2＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝5时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处．故选A.
二、多项选择题
9．(2025·河北衡水模拟)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列说法正确的是(　　)
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若0答案：AC
解析：对于A，x>0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正确；对于B，∵00，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝，故B错误；对于C，x>0，2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正确；对于D，∵00，x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤3＝，故D错误．故选AC.
10．(2025·广东广州模拟)已知aA．a＋c<0
B.＋<－2
C．存在a，c，使得a2－25c2＝0
D.<－
答案：ABD
解析：对于A，由a0，又a＋c<0，所以≠－1，所以＋＝－<－2，B正确；对于C，由a0，所以a＋5c>0，得c>－>0，所以c2>，得a2－25c2<0，C错误；对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以＝＝＋＝－＋.因为a＋c<0，c>0，所以<0，所以<－，D正确．故选ABD.
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案：BC
解析：因为ab≤≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1变形可得＋y2＝1，设x－＝cosθ，y＝sinθ，所以x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcosθ＝1＋sin2θ－cos2θ＋＝＋sin∈，即≤x2＋y2≤2，当且仅当x＝，y＝－或x＝－，y＝时，x2＋y2＝，当且仅当x＝y＝±1时，x2＋y2＝2，所以C正确，D错误．故选BC.
三、填空题
12．(2025·湖南株洲模拟)一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④，其中可作为数对(S，l)的是________(填序号)．
答案：①③
解析：设矩形的长、宽分别为x，y(x，y>0)，则x＋y＝，S＝xy，因为x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号成立，所以≥2，即l2≥16S.将四组实数对逐个代入检验可知，可作为数对(S，l)的为①(1，4)，③(7，12)．
13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
答案：
解析：∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值为.
14．设a>2b>0，那么的最小值是________．
答案：16
解析：因为b(a－2b)＝·2b(a－2b)≤＝，当且仅当2b＝a－2b，即b＝a时取等号，所以≥＝8≥8×2＝16，当且仅当a2＝，即a＝1时取等号，故当a＝1，b＝时，取得最小值16.
四、解答题
15．(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤；
(2)求满足方程(x2＋2)(y2＋8)＝16xy的实数x，y的值．
解：(1)证明：由a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，
可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋2ab＋2bc＋2ac≥ab＋bc＋ac＋2ab＋2bc＋2ac＝3(ab＋bc＋ac)，
所以ab＋bc＋ac≤，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
(2)(x2＋2)(y2＋8)＝16xy＞0，
当x＞0，y＞0时，由x2＋2≥2x，y2＋8≥4y，可得(x2＋2)(y2＋8)≥16xy，当且仅当x＝，y＝2时取等号．
同理可得，当x＜0，y＜0时，(x2＋2)(y2＋8)≥16xy也成立，当且仅当x＝－，y＝－2时取等号．
所以原方程的解为或
16．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)某农场发现有400平方米的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天10平方米的速度扩散，相关部门立即组织人力进行抢修，每位抢修人员每天可抢修农田5平方米，劳务费为每人每天400元，还为每位抢修人员提供240元物资补贴．若安排x位抢修人员参与抢修，则需要t天完成抢修工作，渗水造成的总损失(总损失＝因渗水造成的直接损失＋各项支出费用)为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)应安排多少位抢修人员参与抢修，才能使总损失最小？并求出总损失．
解：(1)因为每位抢修人员每天可抢修农田5平方米，需要t天完成抢修工作，
所以可得400＋10t＝5xt，即t＝，显然x－2>0，即x>2，且x∈N*，
因为总损失＝因渗水造成的直接损失＋各项支出费用，
所以y＝(400＋10t)·400＋400xt＋240x，
将t＝代入上式，得y＝240x＋＋192000(x>2，x∈N*)．
(2)y＝240x＋＋192000
＝240(x－2)＋＋192480
≥2＋192480
＝211680，
当且仅当240(x－2)＝，即x＝42时，等号成立，
所以应安排42位抢修人员参与抢修，才能使总损失最小，此时总损失为211680元．
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