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第3练　一元二次不等式的解法
一、单项选择题
1．下列不等式中解集为R的是(　　)
A．－x2＋2x＋1≥0
B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0
2．已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　)
A.
B．(－∞，6]∪
C．(－∞，6)∪
D.
3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n，或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n}
D．{x|－m4．(2025·甘肃张掖模拟)不等式<2－2x的解集是(　　)
A. B.
C. D.
5．(2024·广东佛山模拟)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2025·安徽芜湖模拟)已知关于x的不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，6] B．[2，6)∪{－2}
C．{2} D．[2，6)
7．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)
8．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法：
解：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　)
A．(－2，－1)∪(1，3)
B．(－3，－1)∪(1，2)
C．(－3，－2)∪(－1，1)
D.∪
二、多项选择题
9．已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是(　　)
A．
B.
C.∪(2，＋∞)
D.
10．(2025·广东深圳模拟)下列说法正确的是(　　)
A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是
B．不等式2x2－x－6≤0的解集是
C．若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0在R上恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－
11．(2025·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|αA．a<0
B．β－x1＝x2－α
C．|x1－x2|<1
D．|β2－x|>|α2－x|
三、填空题
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是________．
14．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为________．
四、解答题
15．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)．
(1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？
(2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？
注：综合费用＝建筑费用＋购地费用．
16．(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)第3练　一元二次不等式的解法（解析版）
一、单项选择题
1．下列不等式中解集为R的是(　　)
A．－x2＋2x＋1≥0
B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0
答案：C
解析：在C中，对于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
2．已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　)
A.
B．(－∞，6]∪
C．(－∞，6)∪
D.
答案：B
解析：因为A＝＝，B＝＝，所以A∪B＝(－∞，6]∪.故选B.
3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n，或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n}
D．{x|－m答案：B
解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n4．(2025·甘肃张掖模拟)不等式<2－2x的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：当x2－3x≥0，即x≥3或x≤0时，不等式|x2－3x|<2－2x等价于x2－3x<2－2x，即x2－x－2<0，解得－10，解得x>或x<，所以05．(2024·广东佛山模拟)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由题意，二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}，则即a＝c>0，b＝－2a，即a＋b＋c＝0；当a＋b＋c＝0时，不能推出a＝c>0，b＝－2a，所以“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的充分不必要条件．故选A.
6．(2025·安徽芜湖模拟)已知关于x的不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，6] B．[2，6)∪{－2}
C．{2} D．[2，6)
答案：D
解析：若m2－4＝0，则m＝±2，若m＝2，原不等式可化为>0，恒成立，若m＝－2，无意义，舍去；当m2－4≠0时，要使得原不等式恒成立，只需解得27．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)
答案：A
解析：设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)．
8．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法：
解：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　)
A．(－2，－1)∪(1，3)
B．(－3，－1)∪(1，2)
C．(－3，－2)∪(－1，1)
D.∪
答案：B
解析：若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0可看成前者不等式中的x用代替所得，则∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1，2)．故选B.
二、多项选择题
9．已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是(　　)
A．
B.
C.∪(2，＋∞)
D.
答案：ABD
解析：不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0，又a<0，所以(x－2)·<0.当a＝－时，该不等式的解集为 ；当a<－时，该不等式的解集为；当－10．(2025·广东深圳模拟)下列说法正确的是(　　)
A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是
B．不等式2x2－x－6≤0的解集是
C．若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0在R上恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－
答案：CD
解析：对于A，4x2－5x＋1>0 (x－1)(4x－1)>0 x<或x>1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0 (x－2)(2x＋3)≤0 －≤x≤2，故B错误；对于C，若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能该不等式组无解，故C正确；对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而解得所以p＋q的值为－，故D正确．故选CD.
11．(2025·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|αA．a<0
B．β－x1＝x2－α
C．|x1－x2|<1
D．|β2－x|>|α2－x|
答案：BC
解析：由题意得a>0，A错误；因为将二次函数y＝ax2＋bx＋c－1的图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，所以α＋β＝x1＋x2＝－，即β－x1＝x2－α，B正确；如图，因为0<β－α<1，所以|x1－x2|<|β－α|<1，C正确；当α<β<0，x1三、填空题
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
答案：{x|x<－5，或x>5}
解析：2x2－3|x|－35>0 2|x|2－3|x|－35>0 (|x|－5)·(2|x|＋7)>0 |x|>5或|x|<－(舍去) x<－5或x>5.
13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是________．
答案：[－3，－2)∪(6，7]
解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．
14．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为________．
答案：100　[60，100]
解析：记每小时的油耗为y，则根据题意，得y＝，则当x＝120时，y＝＝11.5，解得k＝100，所以y＝，当y≤9时，即≤9，解得45≤x≤100，又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60，100]．
四、解答题
15．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)．
(1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？
(2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？
注：综合费用＝建筑费用＋购地费用．
解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元，
则y＝＋565＋70x＝＋70x＋565.
因为＋70x＋565≤2000，结合x≥8，得2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5.
因为x∈Z，所以该楼房最多建12层．
(2)由(1)可知，该楼房每平方米的平均综合费用y＝＋70x＋565，
因为＋70x≥2×700＝1400，当且仅当＝70x，即x＝10时，等号成立，所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，为1400＋565＝1965元．
16．(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)解：(1)由题意，得ax2－x＋2－4a≥0(a≠0)对任意x∈R恒成立，
所以即
解得a＝，所以f(x)＝x2＋x＋1.
(2)由f(x＋t)所以对任意的x∈[－1，1]，不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0恒成立．
令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，x∈[－1，1]，
则
解得－所以实数t的取值范围为.
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