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浙江省宁波市镇海区2025年中考一模数学试题
1．（2025·镇海区模拟）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2025·镇海区模拟）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·镇海区模拟）我国“北斗导航系统”用的原子钟以纳秒级计算时间．已知1秒=1000000000纳秒，则数据1000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·镇海区模拟）如图，多边形是边长为1的正六边形，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·镇海区模拟）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
6．（2025·镇海区模拟）已知一组样本数据，，，为不全相等的个正数，其中．若把数据，，，都扩大倍再减去（其中是实数，），生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据相比较，（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．方差相等 D．标准差可能相等
7．（2025·镇海区模拟）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2025·镇海区模拟）在平面直角坐标系中，点一定位于（　　）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
9．（2025·镇海区模拟）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
10．（2025·镇海区模拟）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·镇海区模拟）方程的解是　 　．
12．（2025·镇海区模拟）如图，四边形是平行四边形，已知，，则　 　．
13．（2025·镇海区模拟）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，，26．
若两组数据的中位数相等，实数　 　．
14．（2025·镇海区模拟）使得方程有实数根的最大的整数　 　．
15．（2025·镇海区模拟）已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则　 　．
16．（2025·镇海区模拟）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为　 　．
17．（2025·镇海区模拟）家庭作业：计算．
小荃计算结果是；小翼计算结果是0．
你认为他们两人谁得到的结果正确？请你写出正确的计算过程．
18．（2025·镇海区模拟）解方程：．
19．（2025·镇海区模拟）圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
20．（2025·镇海区模拟）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结，分别交线段于点，连结．
（1）若，则应该满足什么条件？
（2）若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
21．（2025·镇海区模拟）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点固定在伞柄顶端，伞圈能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点到伞骨连结点的距离都等于的一半，若夹角，求的度数．
22．（2025·镇海区模拟）在中，点分别在边上，线段相交于点．
（1）若是正三角形，，求的值．
（2）设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：．
23．（2025·镇海区模拟）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
24．（2025·镇海区模拟）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
（1）若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
（2）若，求的长．
（3）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：由抛物线可知对称轴是直线；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求出对称轴即可。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，此选项符合题意；
B、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据1000000000用科学记数法可以表示为：
1000000000=.
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵多边形是边长为1的正六边形，
∴，，
∴，
连接，过点B作于点H，
∴，
∵，
∴，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先根据多边形的内角和定理可求 的度数，连接，过点B作于点H，由等边对等角可得，在Rt△BCH中，根据锐角三角函数cos∠ACB=可求得CH的值，然后由AC=2CH可求解．
5．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关）
当联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关），
∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称，
∴，
故答案为：B．
【分析】分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解．
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵一组样本数据，，，为不全相等，则扩大倍时，再减去，
∴新的数据，，，，
、由题意可得：设原数据平均数为，则新数据平均数为，平均数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据中位数为，则新数据中位数为，中位数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据方差为，则新数据方差为倍，方差可能相等，不符合题意；
、根据标准差的概念是方差的算术平方根，设原数据标准差为，则新数据标准差为，
∴当时，则标准差可能相等，符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，标准差就是方差的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形是正方形，
∴，
∴，
当时，过点E作于H，
当时，则，是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，
整理得，
∴此选项不符合题意；
B、当时，则，是等腰直角三角形，
∴，，即点与点重合，
∴，
∴此选项符合题意；
C、当时，则，，
∴，，，
在中，，
则，
∴此选项不符合题意；
D、当时，则，，
∴，，，即点与点重合，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、过点E作于H，在Rt△ABC中，用勾股定理求出AC=AE的值，由题意易得△AHE是等腰直角三角形，在Rt△AHE中，用勾股定理可将AH=EH用含m的代数式表示出来，在Rt△CHE中，用勾股定理可将n用含m的代数式表示出来即可判断求解；
B、同理可求解；
C、根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AH=AE，在Rt△AEH中，用勾股定理将EH用含m的代数式表示出来，由线段的和差将CH用含m的代数式表示出来，在Rt△CHE中，用勾股定理可将n用含m的代数式表示出来即可判断求解；
D、同理可求解.
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接，则，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
在Rt△CDO和Rt△BAO中
∴（HL），
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故答案为：C．
【分析】连接，由勾股定理求得CD的值，结合题意，用HL定理可证Rt△BAO≌Rt△CDO，由全等三角形的对应边相等可得，则AD=2AO，然后根据矩形的面积=长×宽即可求解．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点，
∴，
分两种情况讨论：
①当时，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
；
综上可得，，
故答案为：．
【分析】由题意得，然后由a≠0可分两种情况讨论：①当时；②当时；分别由不等式的性质进行推导并结合各选项即可判断求解．
11．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得
故答案为：．
【分析】根据解一元二次方程的方法“直接开平方法”计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠BFD=∠A+∠ABF可求得的度数，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得，然后根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求解．
13．【答案】22
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25，
∴中位数为，
①第二组：20，21，23，25，，26排列为：，20，21，23，25，26，中位数为，不符合题意；
②第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，，21，23，25，26，中位数为，不符合题意；
③第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，，23，25，26，中位数为，解得：；
④第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，，25，26，中位数为，解得：，此时，不符合题意；
⑤第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，，26，中位数为，不符合题意；
⑥第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，26，，中位数为，不符合题意；
故，
故答案为：22．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义，先求出第一组的中位数为22.5，然后再分类讨论即可求解．
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解.
15．【答案】132
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
经过反射后，，，
∴
．
故答案为：132．
【分析】由镜面反射的性质可得，，然后由线段的和差计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵正方形的边长为1，
由勾股定理得：
∵和的边上的高，
，
，
当时，有最小值，
故答案为：．
【分析】连接，，根据三角形的面积公式得，，由正方形的面积的构成可得，当时，有最小值．
17．【答案】解：小翼的结果正确，理由如下：
，
答：小翼得到的结果正确．
【知识点】二次根式的加减法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值的非负性先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可求解．
18．【答案】解：
可化为
由，，
∴
∴
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程化为一般形式后，根据求根公式解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，
∵圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．
∴圆圆同学的成绩较好．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的意义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”计算即可求解；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，然后根据"方差较小，成绩相对稳定"即可判断求解．
（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
20．【答案】（1）解：∵平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
化简得：，
∴或（舍）
∴当，则应该满足；
（2）解：当，
由（1）得：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，为中心对称图形，
∴，
∵点是对角线上的等分点，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍）．
答：n的值为6.
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
21．【答案】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质“菱形的对角线平分每一组对角”可得，，求得，，根据四边形的内角和等于360°可求得的度数，然后由菱形的对角相等得∠BCD=∠BAD可求解．
22．【答案】（1）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
在△ABD和△CAE中
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；求正弦值
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得的度数，然后由特殊角的三角函数值即可求解；
（2）连接，设，根据同高的两个三角形面积比可化为底之比得，即，则，而，即可求解．
（1）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1），，
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程；二次函数与一次函数的综合应用；不等式的性质
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得y1=y2，
∴，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，.
【分析】
（1）联立与，得，整理得，根据两个函数相切可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求解；
（2）由（1）得，要使成立，则，整理得，由偶次方的非负性并结合不等式的性质可得，对、的两组值进行验证，即可求解；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
24．【答案】（1）若选择①，；若选择②，
（2）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
答：
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
1 / 1浙江省宁波市镇海区2025年中考一模数学试题
1．（2025·镇海区模拟）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：由抛物线可知对称轴是直线；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求出对称轴即可。
2．（2025·镇海区模拟）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，此选项符合题意；
B、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．（2025·镇海区模拟）我国“北斗导航系统”用的原子钟以纳秒级计算时间．已知1秒=1000000000纳秒，则数据1000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据1000000000用科学记数法可以表示为：
1000000000=.
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2025·镇海区模拟）如图，多边形是边长为1的正六边形，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵多边形是边长为1的正六边形，
∴，，
∴，
连接，过点B作于点H，
∴，
∵，
∴，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先根据多边形的内角和定理可求 的度数，连接，过点B作于点H，由等边对等角可得，在Rt△BCH中，根据锐角三角函数cos∠ACB=可求得CH的值，然后由AC=2CH可求解．
5．（2025·镇海区模拟）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关）
当联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关），
∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称，
∴，
故答案为：B．
【分析】分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解．
6．（2025·镇海区模拟）已知一组样本数据，，，为不全相等的个正数，其中．若把数据，，，都扩大倍再减去（其中是实数，），生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据相比较，（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．方差相等 D．标准差可能相等
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵一组样本数据，，，为不全相等，则扩大倍时，再减去，
∴新的数据，，，，
、由题意可得：设原数据平均数为，则新数据平均数为，平均数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据中位数为，则新数据中位数为，中位数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据方差为，则新数据方差为倍，方差可能相等，不符合题意；
、根据标准差的概念是方差的算术平方根，设原数据标准差为，则新数据标准差为，
∴当时，则标准差可能相等，符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，标准差就是方差的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
7．（2025·镇海区模拟）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形是正方形，
∴，
∴，
当时，过点E作于H，
当时，则，是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，
整理得，
∴此选项不符合题意；
B、当时，则，是等腰直角三角形，
∴，，即点与点重合，
∴，
∴此选项符合题意；
C、当时，则，，
∴，，，
在中，，
则，
∴此选项不符合题意；
D、当时，则，，
∴，，，即点与点重合，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、过点E作于H，在Rt△ABC中，用勾股定理求出AC=AE的值，由题意易得△AHE是等腰直角三角形，在Rt△AHE中，用勾股定理可将AH=EH用含m的代数式表示出来，在Rt△CHE中，用勾股定理可将n用含m的代数式表示出来即可判断求解；
B、同理可求解；
C、根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AH=AE，在Rt△AEH中，用勾股定理将EH用含m的代数式表示出来，由线段的和差将CH用含m的代数式表示出来，在Rt△CHE中，用勾股定理可将n用含m的代数式表示出来即可判断求解；
D、同理可求解.
8．（2025·镇海区模拟）在平面直角坐标系中，点一定位于（　　）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
9．（2025·镇海区模拟）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接，则，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
在Rt△CDO和Rt△BAO中
∴（HL），
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故答案为：C．
【分析】连接，由勾股定理求得CD的值，结合题意，用HL定理可证Rt△BAO≌Rt△CDO，由全等三角形的对应边相等可得，则AD=2AO，然后根据矩形的面积=长×宽即可求解．
10．（2025·镇海区模拟）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点，
∴，
分两种情况讨论：
①当时，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
；
综上可得，，
故答案为：．
【分析】由题意得，然后由a≠0可分两种情况讨论：①当时；②当时；分别由不等式的性质进行推导并结合各选项即可判断求解．
11．（2025·镇海区模拟）方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得
故答案为：．
【分析】根据解一元二次方程的方法“直接开平方法”计算即可求解.
12．（2025·镇海区模拟）如图，四边形是平行四边形，已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠BFD=∠A+∠ABF可求得的度数，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得，然后根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求解．
13．（2025·镇海区模拟）已知如下的两组数据：
第一组：20，21，22，25，24，23；
第二组：20，21，23，25，，26．
若两组数据的中位数相等，实数　 　．
【答案】22
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25，
∴中位数为，
①第二组：20，21，23，25，，26排列为：，20，21，23，25，26，中位数为，不符合题意；
②第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，，21，23，25，26，中位数为，不符合题意；
③第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，，23，25，26，中位数为，解得：；
④第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，，25，26，中位数为，解得：，此时，不符合题意；
⑤第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，，26，中位数为，不符合题意；
⑥第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，26，，中位数为，不符合题意；
故，
故答案为：22．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义，先求出第一组的中位数为22.5，然后再分类讨论即可求解．
14．（2025·镇海区模拟）使得方程有实数根的最大的整数　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解.
15．（2025·镇海区模拟）已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则　 　．
【答案】132
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
经过反射后，，，
∴
．
故答案为：132．
【分析】由镜面反射的性质可得，，然后由线段的和差计算即可求解．
16．（2025·镇海区模拟）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵正方形的边长为1，
由勾股定理得：
∵和的边上的高，
，
，
当时，有最小值，
故答案为：．
【分析】连接，，根据三角形的面积公式得，，由正方形的面积的构成可得，当时，有最小值．
17．（2025·镇海区模拟）家庭作业：计算．
小荃计算结果是；小翼计算结果是0．
你认为他们两人谁得到的结果正确？请你写出正确的计算过程．
【答案】解：小翼的结果正确，理由如下：
，
答：小翼得到的结果正确．
【知识点】二次根式的加减法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值的非负性先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可求解．
18．（2025·镇海区模拟）解方程：．
【答案】解：
可化为
由，，
∴
∴
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程化为一般形式后，根据求根公式解方程即可求出答案.
19．（2025·镇海区模拟）圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，
∵圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．
∴圆圆同学的成绩较好．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的意义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”计算即可求解；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，然后根据"方差较小，成绩相对稳定"即可判断求解．
（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
20．（2025·镇海区模拟）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结，分别交线段于点，连结．
（1）若，则应该满足什么条件？
（2）若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
【答案】（1）解：∵平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
化简得：，
∴或（舍）
∴当，则应该满足；
（2）解：当，
由（1）得：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，为中心对称图形，
∴，
∵点是对角线上的等分点，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍）．
答：n的值为6.
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
21．（2025·镇海区模拟）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点固定在伞柄顶端，伞圈能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点到伞骨连结点的距离都等于的一半，若夹角，求的度数．
【答案】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质“菱形的对角线平分每一组对角”可得，，求得，，根据四边形的内角和等于360°可求得的度数，然后由菱形的对角相等得∠BCD=∠BAD可求解．
22．（2025·镇海区模拟）在中，点分别在边上，线段相交于点．
（1）若是正三角形，，求的值．
（2）设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：．
【答案】（1）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
在△ABD和△CAE中
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；求正弦值
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得的度数，然后由特殊角的三角函数值即可求解；
（2）连接，设，根据同高的两个三角形面积比可化为底之比得，即，则，而，即可求解．
（1）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（2025·镇海区模拟）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
【答案】（1），，
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程；二次函数与一次函数的综合应用；不等式的性质
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得y1=y2，
∴，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，.
【分析】
（1）联立与，得，整理得，根据两个函数相切可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求解；
（2）由（1）得，要使成立，则，整理得，由偶次方的非负性并结合不等式的性质可得，对、的两组值进行验证，即可求解；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
24．（2025·镇海区模拟）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
（1）若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
（2）若，求的长．
（3）若，求证：．
【答案】（1）若选择①，；若选择②，
（2）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
答：
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
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