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四川省绵阳市北川羌族自治县2025年中考一模数学试题
1．（2025·北川模拟）的平方根是（　　）
A．9 B． C．- D．±
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，3的平方根是.
∴的平方根是．
故答案为：D．
【分析】 首先，根据算术平方根的定义计算出的值 ，再求出这个值的平方根，注意一个正数的平方根有两个解，一个正数和一个负数 ，且这两个互为相反数.
2．（2025·北川模拟）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．打雷后会下雨 B．明天是晴天
C．1小时等于60分钟 D．下雨后有彩虹
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、打雷后不一定会下雨，此选项中的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
B、明天不一定是晴天，此选项中的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
C、1小时等于60分钟是必然的，此选项中的事件是必然事件，故此选项符合题意；
D、下雨后不一定会有彩虹，此选项中的事件是随机事件，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2025·北川模拟）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图如图所示．
故答案为：A．
【分析】俯视图是从上面观察几何体得出的正投影，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线；该正方体组合从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形，从而逐一判断得出答案.
4．（2025·北川模拟）为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（　　）
A．65 B．60 C．75 D．80
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为60出现的次数最多，所以这组数据的众数为：60.
故答案为：B。
【分析】根据众数的定义进行选择即可。
5．（2025·北川模拟）如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵
∴
∵是直径
∴
∴
∴．
故答案为：D．
【分析】首先由三角形内角和定理求出，由同弧所对的圆周角相等得到，由直径所对的圆周角是直角得到，由直角三角形的量锐角互余求出，最后利用三角形外角的性质求解即可．
6．（2025·北川模拟）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字0.00000156用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此求解即可.
7．（2025·北川模拟）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴．
故答案为：D．
【分析】分式有意义的条件是“分母不为0”，据此列出不等式，求解即可.
8．（2025·北川模拟）如图，直线，直线交a于点B，交b于点C，直线交a于点D．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵
∴．
故答案为：B．
【分析】首先由二直线平行，内错角相等，得到，然后利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求解即可．
9．（2025·北川模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（　　）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、∵前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，
∴甲的速度为：0.8÷10=0.08千米/分钟，乙的速度为1.2÷10=0.12千米/分钟，
∴甲比乙的速度慢，故A项正确，不符合题意；
B、前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B项正确，不符合题意；
C、甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，不符合题意；
D、经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】此题函数图象反应的是甲乙两位同学走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系，横轴代表的是时间，纵轴代表的是路程，结合图象分别读出甲乙两人10分钟、20分钟、30分钟及40分钟所走过的路程，再根据路程除以时间等于速度，即可逐一判断得出答案.
10．（2025·北川模拟）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（　　）
A．12 B．18 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；剪纸问题
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，
∴等腰三角形的腰为；
∴等腰三角形的周长为：．
故答案为：D．
【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，该直角三角形较长直角边等于矩形的宽，较短直角边等于矩形长的一半与4的差，根据勾股定理可得直角三角形斜边长为；展开后等腰三角形的腰长等于直角三角形的斜边长，底边长等于直角三角形较短直角边得2倍，进而根据三角形周长计算公式计算即可.
11．（2025·北川模拟）设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（　　）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2.
故答案为：D.
【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.
12．（2025·北川模拟）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积 为（　　）
A． B．15 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°+∠DAC，∠DEC=∠ADE+∠DAC=60°+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD=4，CE=，
设AB=x，则DC=x-4，
∴ ，
∴x=6，
∴AB=6，
过点A作AF⊥BC于F，
∴，
∴
∴S△ABC=BC AF=×6×3=9．
故答案为：C．
【分析】首先由△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，又由三角形外角的性质，求得∠ADB=∠DEC，从而可用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABD∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例建立方程，即可求得AB的长；过点A作AF⊥BC于F，由等腰三角形的三线合一得BF的长，然后根据勾股定理算出AF的长，最后利用三角形面积计算公式可求得△ABC的面积．
13．（2025·北川模拟）分解因式：　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】观察所给的三项式，各项有公因式“xy”，故先提取各项的公因式xy，然后利用完全平方公式将剩下的商式进行第二次分解因式即可．
14．（2025·北川模拟）比较大小： 　 　7．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用平方法，由于两数均为正数，根据正数越大其平方后的幂就越大，进行比较即可.
15．（2025·北川模拟）如图，与关于直线l对称．若，则的度数为　 　 ．
【答案】45°
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵与关于直线l对称，
∴
∴．
故答案为：45°．
【分析】首先根据成轴对称的图形对应角相等得到，然后根据平行四边形的对角相等即可得出答案.
16．（2025·北川模拟）写出一个解集为 的不等式组：　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据不等式的性质：由 可得 ；
所以可得另一个不等式： ；
所以不等式组为 ；
故答案为： .
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，编写一个符合条件的不等式组即可.
17．（2025·北川模拟）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：.
【分析】由等边三角形性质得，，从而利用SAS判断出△ACF≌△BAE，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的和差得出∠EPA=60°，由邻补角得出，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧；由圆内接四边形性质及圆周角定理得出∠AOB=120°，根据点与圆的位置关系得出连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值；利用SSS判断出△ACO≌△BCO，由全等三角形的对应角相等、等边是哪些性质及三角形内角和定理可推出∠CAO=90°，由∠ACO的正切函数、余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出OP'及OC的长，最后根据CP'=OC-OP'列式计算即可.
18．（2025·北川模拟）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵圆O与大正方形的两边都相切，且圆O的半径为1，
∴∠OAC=∠OBC=∠C=90°，且OA=OB=1，
∴四边形OACB是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴当圆运动到大正方形的一个角时，“不能接触到的部分”的面积是：，
∵圆形纸片在正方形内任意移动时，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是四个角，
∴这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是：．
故答案为：．
【分析】根据切线的性质得∠OAC=∠OBC=∠C=90°，且OA=OB=1，根据正方形的判定方法得四边形OACB是正方形，由正方形性质得∠AOB=90°，当圆运动到大正方形的一个角时，“不能接触到的部分”的面积是 小正方形的面积与扇形的面积的差，圆形纸片在正方形内任意移动时，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是四个角，据此求解即可.
19．（2025·北川模拟）（1）计算：；
（2） 先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）首先代入特殊锐角三角函数值，然后根据有理数乘方运算法则、0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”分别进行计算，进而计算实数的除法与乘法，最后计算有理数的加减法运算即可；
（2）首先对括号内第二个分式的分母利用提取公因式法分解因式，进而对该分式的分子、分母进行约分化简，进而利用同分母分式减法法则计算括号内的部分，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数化除法为乘法，接着计算分式乘法，再将“1”看成计算分式的减法得出最简结果，最后代入a的数值代入化简结果进行分母有理化计算即可．
20．（2025·北川模拟）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为型，型，型，型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
型号
亩数 16 20 12
利用图中的信息，解决下列问题：
（1）①______；
②扇形统计图中的度数为______．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中型挖掘机改造建设了多少亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率．
【答案】（1）①32，②
（2）解：根据题意得：（亩），
答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2种情况，
同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：①（亩），
；
②扇形统计图中的度数为；
故答案为：32，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，利用D型建设高标准农田的面积除以其所占比得到改造农田的总面积，用改造农田的总面积减去A型，B型，D型的面积，即可得到C型的建设面积； 利用360°乘以A型建设面积所占比，即可得到扇形统计图中的度数；
（2）利用改造建设高标准农田的总亩数乘以样本中B型所占比，即可估计其中B型挖掘机改造建设的亩数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，同时抽到A，B两种型号挖掘机的有2种情况，从而利用概率公式求解即可．
（1）解：①（亩），
；
②扇形统计图中的度数为；
故答案为：32，；
（2）解：根据题意得：（亩），
答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2种情况，
同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：．
21．（2025·北川模拟）如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
(1)求k的值；
(2)若双曲线y＝ (k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
【答案】解：（1）∵点A的横坐标为4，点A在直线y＝x上，
∴点A的纵坐标为y＝×4＝2，即A(4，2)．
又∵点A(4，2)在双曲线y＝上，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵点C在双曲线y＝上，且点C纵坐标为8，
∴C(1，8)．
如图，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N.
∵S△COM＝S△AON＝＝4，
∴S△AOC＝S四边形CMNA＝×(|yA|＋|yC|)×(|xA|－|xc|)＝15.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【分析】（1）将x=4代入y＝x算出对应的函数值，可得点A(4，2)，然后将点A的坐标代入y＝即可求出k的值；
（2）将y=8代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，可得点C(1，8)，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，根据反比例函数“k”的几何意义可得S△COM＝S△AON＝4，进而利用割补法可推出S△AOC＝S四边形CMNA，结合直角梯形面积计算公式及点的坐标列式计算可得答案.
22．（2025·北川模拟）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】（1）300，240
（2）解：设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，
又当10x=400时，可得
当时， 显然此时选择乙超市更优惠，
当时，
当时，则 解得：
∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得：
∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得：
∴当时，选择甲超市更优惠．
当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择甲超市更优惠；
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】（1）解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
故答案为：300，240；
【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案，用单价乘以数量等于总价直接列式可算出甲超市购物需要的金额；根据单价乘以数量乘以折扣率等于总价直接列式可算出乙超市购物需要的金额；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，根据总价除以单价等于数量可得： 当时，家超市不优惠，乙超市打8折优惠， 显然此时选择乙超市更优惠；当时，根据甲乙超市各自的优惠方案分别表示出y甲与y乙，然后分y甲＞y乙，y甲=y乙，y甲＜y乙，三种情况分别列出不等式或方程，求解即可得出结论.
（1）解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
故答案为：
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得
当时，
显然此时选择乙超市更优惠，
当时，
当时，则 解得：
∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得：
∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得：
∴当时，选择甲超市更优惠．
23．（2025·北川模拟）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角及已知可推出，由直径所对的圆周角是直角求得，再利用角的构成及等量代换求得，从而根据切线的判定定理即可证明是的切线；
（2）由∠D的正弦函数求得，在中，利用勾股定理求得，由直角三角形量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得，由等角对等边得EC=EF=x，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DOC∽△DEG，利用相似三角形的对应边成比例建立方程即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
24．（2025·北川模拟）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】证明：（1）连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接，，，根据正方形的每条对角线平分一组对角及角的构成求出，从而可用“SAS”判断出，由全等三角形的对应边相等得，由等边对等角得，再利用同角的余角相等求出，由等角对等边推出，则PD=PF，根据中点定义即可得出结论；
（2）根据正方形的每条对角线平分一组对角得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长EP至点M，使，连接MA、MD，首先利用那个SAS判断出，由全等三角形的性质得到，由内错角相等，两直线平行，DM∥EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得；设DF交BC于点H，交BG于点N，由二直线平行，内错角相等，得到，由二直线平行，同位角相等得到；根据角的构成、等量代换、三角形内角和定理、周角定义进及同角的补角相等而得到，再用SAS证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
25．（2025·北川模拟）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE
在中，
∴FC=4
设EF=x，则EC=8 x
在Rt△ECF中，42+(8 x)2=x2 解得x=5
∴CE=8 x=5
∵B(m，0)
∴E(m+10，3)，F(m+6，0)
（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF ∴OB=BF=6，∴m=6
若OF=AF，则m+6=10 解得m=4
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64
，解得，
综上m的值为6或4或；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3)，
依题意
得
∴M(m+6， 1)
设对称轴交AD于G
∴G(m+6，8)
∴AG=6，
∵，
∴∠OAB=∠MAG
又，
∴△AOB∽△AMG
，即
∴m=12
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由矩形性质得AD=BC=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠的性质得AF=AD=10，FE=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理算出BF=6，从而根据线段和差求出CF=4，设EF=x，则EC=8 x，在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可求出CE的长，然后根据点的坐标与图形性质可表示出点E、F的坐标；
（2）分三种情形讨论：①AO=AF，由等腰三角形的三线合一得出OB=BF=6，从而可得m的值；②当OF=AF，结合AF的长度建立方程可求出m的值；③当AO=OF，在Rt△AOB中，利用勾股定理建立方程可求出m的值；
（3）将A、E两点的坐标分别代入 y=a(x－m－6)2+h 可得关于字母a、h的方程组，求解得出a、h的值；根据抛物线的顶点式得到点M的坐标，设对称轴交AD于G，根据点的坐标与图形性质可表示出G点坐标，利用两点间的距离公式算出AG、GM，由同角的余角相等得∠OAB=∠MAG，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOB∽△AMG，由相似三角形对应边成比例建立方程求解可得出m的值.
1 / 1四川省绵阳市北川羌族自治县2025年中考一模数学试题
1．（2025·北川模拟）的平方根是（　　）
A．9 B． C．- D．±
2．（2025·北川模拟）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．打雷后会下雨 B．明天是晴天
C．1小时等于60分钟 D．下雨后有彩虹
3．（2025·北川模拟）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·北川模拟）为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（　　）
A．65 B．60 C．75 D．80
5．（2025·北川模拟）如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·北川模拟）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·北川模拟）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
8．（2025·北川模拟）如图，直线，直线交a于点B，交b于点C，直线交a于点D．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·北川模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（　　）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
10．（2025·北川模拟）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（　　）
A．12 B．18 C． D．
11．（2025·北川模拟）设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（　　）
A． B．
C． D． 且
12．（2025·北川模拟）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积 为（　　）
A． B．15 C． D．
13．（2025·北川模拟）分解因式：　 　 ．
14．（2025·北川模拟）比较大小： 　 　7．（填“>”“<”或“=”）
15．（2025·北川模拟）如图，与关于直线l对称．若，则的度数为　 　 ．
16．（2025·北川模拟）写出一个解集为 的不等式组：　 　.
17．（2025·北川模拟）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为　 　．
18．（2025·北川模拟）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是　 　．
19．（2025·北川模拟）（1）计算：；
（2） 先化简，再求值：，其中．
20．（2025·北川模拟）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为型，型，型，型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
型号
亩数 16 20 12
利用图中的信息，解决下列问题：
（1）①______；
②扇形统计图中的度数为______．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中型挖掘机改造建设了多少亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到，两种型号挖掘机的概率．
21．（2025·北川模拟）如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
(1)求k的值；
(2)若双曲线y＝ (k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
22．（2025·北川模拟）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
23．（2025·北川模拟）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
24．（2025·北川模拟）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
25．（2025·北川模拟）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，3的平方根是.
∴的平方根是．
故答案为：D．
【分析】 首先，根据算术平方根的定义计算出的值 ，再求出这个值的平方根，注意一个正数的平方根有两个解，一个正数和一个负数 ，且这两个互为相反数.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、打雷后不一定会下雨，此选项中的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
B、明天不一定是晴天，此选项中的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
C、1小时等于60分钟是必然的，此选项中的事件是必然事件，故此选项符合题意；
D、下雨后不一定会有彩虹，此选项中的事件是随机事件，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图如图所示．
故答案为：A．
【分析】俯视图是从上面观察几何体得出的正投影，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线；该正方体组合从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形，从而逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为60出现的次数最多，所以这组数据的众数为：60.
故答案为：B。
【分析】根据众数的定义进行选择即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵
∴
∵是直径
∴
∴
∴．
故答案为：D．
【分析】首先由三角形内角和定理求出，由同弧所对的圆周角相等得到，由直径所对的圆周角是直角得到，由直角三角形的量锐角互余求出，最后利用三角形外角的性质求解即可．
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字0.00000156用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此求解即可.
7．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴．
故答案为：D．
【分析】分式有意义的条件是“分母不为0”，据此列出不等式，求解即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵
∴．
故答案为：B．
【分析】首先由二直线平行，内错角相等，得到，然后利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求解即可．
9．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、∵前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，
∴甲的速度为：0.8÷10=0.08千米/分钟，乙的速度为1.2÷10=0.12千米/分钟，
∴甲比乙的速度慢，故A项正确，不符合题意；
B、前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B项正确，不符合题意；
C、甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，不符合题意；
D、经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】此题函数图象反应的是甲乙两位同学走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系，横轴代表的是时间，纵轴代表的是路程，结合图象分别读出甲乙两人10分钟、20分钟、30分钟及40分钟所走过的路程，再根据路程除以时间等于速度，即可逐一判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；剪纸问题
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，
∴等腰三角形的腰为；
∴等腰三角形的周长为：．
故答案为：D．
【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，该直角三角形较长直角边等于矩形的宽，较短直角边等于矩形长的一半与4的差，根据勾股定理可得直角三角形斜边长为；展开后等腰三角形的腰长等于直角三角形的斜边长，底边长等于直角三角形较短直角边得2倍，进而根据三角形周长计算公式计算即可.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2.
故答案为：D.
【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°+∠DAC，∠DEC=∠ADE+∠DAC=60°+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD=4，CE=，
设AB=x，则DC=x-4，
∴ ，
∴x=6，
∴AB=6，
过点A作AF⊥BC于F，
∴，
∴
∴S△ABC=BC AF=×6×3=9．
故答案为：C．
【分析】首先由△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，又由三角形外角的性质，求得∠ADB=∠DEC，从而可用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABD∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例建立方程，即可求得AB的长；过点A作AF⊥BC于F，由等腰三角形的三线合一得BF的长，然后根据勾股定理算出AF的长，最后利用三角形面积计算公式可求得△ABC的面积．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】观察所给的三项式，各项有公因式“xy”，故先提取各项的公因式xy，然后利用完全平方公式将剩下的商式进行第二次分解因式即可．
14．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用平方法，由于两数均为正数，根据正数越大其平方后的幂就越大，进行比较即可.
15．【答案】45°
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵与关于直线l对称，
∴
∴．
故答案为：45°．
【分析】首先根据成轴对称的图形对应角相等得到，然后根据平行四边形的对角相等即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据不等式的性质：由 可得 ；
所以可得另一个不等式： ；
所以不等式组为 ；
故答案为： .
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，编写一个符合条件的不等式组即可.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：.
【分析】由等边三角形性质得，，从而利用SAS判断出△ACF≌△BAE，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的和差得出∠EPA=60°，由邻补角得出，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧；由圆内接四边形性质及圆周角定理得出∠AOB=120°，根据点与圆的位置关系得出连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值；利用SSS判断出△ACO≌△BCO，由全等三角形的对应角相等、等边是哪些性质及三角形内角和定理可推出∠CAO=90°，由∠ACO的正切函数、余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出OP'及OC的长，最后根据CP'=OC-OP'列式计算即可.
18．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵圆O与大正方形的两边都相切，且圆O的半径为1，
∴∠OAC=∠OBC=∠C=90°，且OA=OB=1，
∴四边形OACB是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴当圆运动到大正方形的一个角时，“不能接触到的部分”的面积是：，
∵圆形纸片在正方形内任意移动时，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是四个角，
∴这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是：．
故答案为：．
【分析】根据切线的性质得∠OAC=∠OBC=∠C=90°，且OA=OB=1，根据正方形的判定方法得四边形OACB是正方形，由正方形性质得∠AOB=90°，当圆运动到大正方形的一个角时，“不能接触到的部分”的面积是 小正方形的面积与扇形的面积的差，圆形纸片在正方形内任意移动时，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是四个角，据此求解即可.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）首先代入特殊锐角三角函数值，然后根据有理数乘方运算法则、0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”分别进行计算，进而计算实数的除法与乘法，最后计算有理数的加减法运算即可；
（2）首先对括号内第二个分式的分母利用提取公因式法分解因式，进而对该分式的分子、分母进行约分化简，进而利用同分母分式减法法则计算括号内的部分，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数化除法为乘法，接着计算分式乘法，再将“1”看成计算分式的减法得出最简结果，最后代入a的数值代入化简结果进行分母有理化计算即可．
20．【答案】（1）①32，②
（2）解：根据题意得：（亩），
答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2种情况，
同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：①（亩），
；
②扇形统计图中的度数为；
故答案为：32，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，利用D型建设高标准农田的面积除以其所占比得到改造农田的总面积，用改造农田的总面积减去A型，B型，D型的面积，即可得到C型的建设面积； 利用360°乘以A型建设面积所占比，即可得到扇形统计图中的度数；
（2）利用改造建设高标准农田的总亩数乘以样本中B型所占比，即可估计其中B型挖掘机改造建设的亩数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，同时抽到A，B两种型号挖掘机的有2种情况，从而利用概率公式求解即可．
（1）解：①（亩），
；
②扇形统计图中的度数为；
故答案为：32，；
（2）解：根据题意得：（亩），
答：估计其中型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时抽到，两种型号挖掘机的有2种情况，
同时抽到，两种型号挖掘机的概率为：．
21．【答案】解：（1）∵点A的横坐标为4，点A在直线y＝x上，
∴点A的纵坐标为y＝×4＝2，即A(4，2)．
又∵点A(4，2)在双曲线y＝上，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵点C在双曲线y＝上，且点C纵坐标为8，
∴C(1，8)．
如图，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N.
∵S△COM＝S△AON＝＝4，
∴S△AOC＝S四边形CMNA＝×(|yA|＋|yC|)×(|xA|－|xc|)＝15.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【分析】（1）将x=4代入y＝x算出对应的函数值，可得点A(4，2)，然后将点A的坐标代入y＝即可求出k的值；
（2）将y=8代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，可得点C(1，8)，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，根据反比例函数“k”的几何意义可得S△COM＝S△AON＝4，进而利用割补法可推出S△AOC＝S四边形CMNA，结合直角梯形面积计算公式及点的坐标列式计算可得答案.
22．【答案】（1）300，240
（2）解：设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，
又当10x=400时，可得
当时， 显然此时选择乙超市更优惠，
当时，
当时，则 解得：
∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得：
∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得：
∴当时，选择甲超市更优惠．
当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择甲超市更优惠；
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】（1）解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
故答案为：300，240；
【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案，用单价乘以数量等于总价直接列式可算出甲超市购物需要的金额；根据单价乘以数量乘以折扣率等于总价直接列式可算出乙超市购物需要的金额；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，根据总价除以单价等于数量可得： 当时，家超市不优惠，乙超市打8折优惠， 显然此时选择乙超市更优惠；当时，根据甲乙超市各自的优惠方案分别表示出y甲与y乙，然后分y甲＞y乙，y甲=y乙，y甲＜y乙，三种情况分别列出不等式或方程，求解即可得出结论.
（1）解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
故答案为：
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得
当时，
显然此时选择乙超市更优惠，
当时，
当时，则 解得：
∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得：
∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得：
∴当时，选择甲超市更优惠．
23．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角及已知可推出，由直径所对的圆周角是直角求得，再利用角的构成及等量代换求得，从而根据切线的判定定理即可证明是的切线；
（2）由∠D的正弦函数求得，在中，利用勾股定理求得，由直角三角形量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得，由等角对等边得EC=EF=x，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DOC∽△DEG，利用相似三角形的对应边成比例建立方程即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
24．【答案】证明：（1）连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接，，，根据正方形的每条对角线平分一组对角及角的构成求出，从而可用“SAS”判断出，由全等三角形的对应边相等得，由等边对等角得，再利用同角的余角相等求出，由等角对等边推出，则PD=PF，根据中点定义即可得出结论；
（2）根据正方形的每条对角线平分一组对角得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长EP至点M，使，连接MA、MD，首先利用那个SAS判断出，由全等三角形的性质得到，由内错角相等，两直线平行，DM∥EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得；设DF交BC于点H，交BG于点N，由二直线平行，内错角相等，得到，由二直线平行，同位角相等得到；根据角的构成、等量代换、三角形内角和定理、周角定义进及同角的补角相等而得到，再用SAS证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
25．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE
在中，
∴FC=4
设EF=x，则EC=8 x
在Rt△ECF中，42+(8 x)2=x2 解得x=5
∴CE=8 x=5
∵B(m，0)
∴E(m+10，3)，F(m+6，0)
（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF ∴OB=BF=6，∴m=6
若OF=AF，则m+6=10 解得m=4
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64
，解得，
综上m的值为6或4或；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3)，
依题意
得
∴M(m+6， 1)
设对称轴交AD于G
∴G(m+6，8)
∴AG=6，
∵，
∴∠OAB=∠MAG
又，
∴△AOB∽△AMG
，即
∴m=12
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由矩形性质得AD=BC=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠的性质得AF=AD=10，FE=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理算出BF=6，从而根据线段和差求出CF=4，设EF=x，则EC=8 x，在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可求出CE的长，然后根据点的坐标与图形性质可表示出点E、F的坐标；
（2）分三种情形讨论：①AO=AF，由等腰三角形的三线合一得出OB=BF=6，从而可得m的值；②当OF=AF，结合AF的长度建立方程可求出m的值；③当AO=OF，在Rt△AOB中，利用勾股定理建立方程可求出m的值；
（3）将A、E两点的坐标分别代入 y=a(x－m－6)2+h 可得关于字母a、h的方程组，求解得出a、h的值；根据抛物线的顶点式得到点M的坐标，设对称轴交AD于G，根据点的坐标与图形性质可表示出G点坐标，利用两点间的距离公式算出AG、GM，由同角的余角相等得∠OAB=∠MAG，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOB∽△AMG，由相似三角形对应边成比例建立方程求解可得出m的值.
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