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莆田四中2024-2025学年下学期高二期中考试
数学试卷
（考试时间120分钟 考试满分150分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．的展开式中，所有二项式的系数和为（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
下列说法错误的是（ ）
若随机变量满足且，则
B．检测回归模型拟合效果好不好，可以用决定系数R2来比较，R2越小表示拟合效果越差
C．若事件相互独立，则
D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
5．函数在上是单调递增的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ）
A． B． C． D．
7．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ）
A． B． C． D．
若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．某种产品的价格（单位：元/kg）与需求量（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
10 15 20 25 30
11 10 8 6 5
根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ）
相关系数 B．
C．若该产品价格为35元，则日需求量大约为
D．第四个样本点对应的残差为
10．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）
A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
11．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ）
， B．，，
C．， D．，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12、的展开式中常数项的二项式系数为__________.
13、为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了3组观察值．计算知，，，，则y关于x的经验线性回归方程是________________
附：，
14、分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设为恰好取到自己祝福信的人数，则P(X=0)=__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（13分）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．
（1）求取出的零件是次品的概率；
（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．
16．（15分）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
17．（15分）2025年由教育部及各省教育厅组织的九省联考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了名男同学和名女同学对计算机专业感兴趣的情况，其中男同学感兴趣有40名，女同学不感兴趣有20名。
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；
(2)将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．
0.005
7.879
附：，其中．
18．（17分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
19．（17分）已知．
(1)当时，讨论函数的极值点个数；
(2)若存在，，使，求证：．
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B D B A C A
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BCD AD ABD
三、填空题
12．
13．
14．
四、解答题
15．（1）；（2）.
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率；
（2）利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
【详解】（1）取出的零件是次品的概率为；
（2）设取出的是次品的事件为,此次品是从第一箱取出的事件为,
则,,
所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为.
16．(1)证明见解析；
(2)；
【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.
【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
连接，在中，，，则，
于是，
设，则，其中，，
因此，即，
所以.
（2）由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，取，得，
设是平面的法向量，则，取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角．
17．(1)列联表见解析，不能
(2)期望，方差
【分析】（1）根据条件，直接得出列联表，再根据公式计算出，即可得出结果；
（2）根据条件得出，再根据二项分布的期望和方差的计算公式，即可求出结果.
【详解】（1）完善列联表如下：
对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计
男同学 40 10 50
女同学 30 20 50
合计 70 30 100
则，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关．
（2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为，
设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X，所以随机变量，
故，．
18．(1)
(2)（i）分布列见解析，；（ii）
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
19．(1)函数的极值点有且仅有一个
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，然后分和两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；
（2）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解
【详解】（1）当时，，则，
当时，，
故在上单调递增，不存在极值点；
当时，令，则总成立，
故函数即在上单调递增，
且，，所以存在，使得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故在上存在唯一极值点，
综上，当时，函数的极值点有且仅有一个．
（2）由知，
整理得，（*），
不妨令，则，故在上单调递增，
当时，有，即，
那么，
因此，（*）即转化为，
接下来证明，等价于证明，
不妨令（），
建构新函数，，则在上单调递减，
所以，故即得证，
由不等式的传递性知，即．
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

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