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青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高一数学试题
满分：150分 时间：120分钟
第I卷（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（ ）
A i B. C. 1 D.
2. 已知向量与是两个不平行向量，若且，则等于（ ）
A. B. C. D. 不存在这样的向量
3. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（ ）
A. B. C. 或 D. 或
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若a，b是两条相交直线，且平面，则与相交
B. 若a，b是两条平行直线，且平面，则
C. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线
D. 若a，b是两条平行直线，，是两个不同的平面，，，，则，
5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ）
A. B. C. D.
7. 若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是 B.
C. 函数在的值域是 D. 函数的图象关于直线对称
10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A.
B.
C. 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D. 最小值为
11. 在直平行六面体中，，M为棱上的动点，四点均在球O的球面上，则（ ）
A. 存在点M，使平面
B. 无论M的位置如何，三棱锥的体积为定值
C. 存在点M，使周长为
D. 球O的表面积为
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量，满足，且，则________.
13. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.
14. 已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，其中i是复数单位.
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，a是正实数，求的值.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
（1）求B；
（2）若，，求a、c.
17. 如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.
（1）求证：平面SCE；
（2）若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，.
（1）求a；
（2）求的面积；
（3）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值.
19. 已知是全体复数集一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域.
（1）求元素个数最小的数环；
（2）记，证明：是数域；
（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.
青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高一数学试题
满分：150分 时间：120分钟
第I卷（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2），或，
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）
（3）.
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析 （3）不一定是数域，理由见解析

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